הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס"

;משפט
תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> . אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע זה.


;הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס ומשפט ב"ו
נוכיח בה"כ לקבלת מקסימום בקטע.

על-פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט הראשון של ויירשטראס|המשפט הראשון של ויירשטראס]], הפונקציה חסומה מלעיל בקטע <math>[a,b]</math> . לכן כתוצאה מאקסיומת השלמות של המספרים הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמנו <math>M=\sup\Big\{f(x)\Big|x\in[a,b]\Big\}</math> .

כיון שכך, לכל <math>n\in\N</math> קיימת נקודה <math>x_n\in [a,b]</math> כך שמתקיים <math>M-\frac1n<f(x_n)\le M</math> .

לפי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/משפט בולצאנו-ויירשטראס|משפט בולצאנו-ויירשטראס]] לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> שגבולה <math>\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0\in[a,b]</math> .

<math>M-\frac1{n_k}\le f(x_{n_k})\le M</math> , ולכן מתקבל על-פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'|כלל הסנדוויץ']] כי <math>\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=M</math> .

<math>f</math> רציפה ומתקבל <math>\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(x_0)</math> , ולכן <math>f(x_0)=M</math> כנדרש.

<math>\blacksquare</math>


;הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס בלבד
אם <math>M</math> הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז <math>M-f(x)>0</math> והפונקציה <math>\frac1{M-f(x)}</math> חיובית ורציפה בכל הקטע.

על-פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט הראשון של ויירשטראס|המשפט הראשון של ויירשטראס]] היא חסומה מלעיל, כלומר קיים <math>z>0</math> כך שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>\frac1{M-f(x)}\le z</math> .

מכך נובע כי <math>f(x)\le M-\frac1n<M</math> , בסתירה לכך ש-<math>M</math> הוא החסם העליון.

<math>\blacksquare</math>
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]