הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/כלל השרשרת"

;משפט
אם <math>g</math> גזירה בנקודה <math>a</math> וכן <math>f</math> גזירה בנקודה <math>g(a)</math> , אזי <math>\frac{d}{dx}(f\circ g)(a)</math> קיימת וערכה <math>f'(g(a))\cdot g'(a)</math> .

בכתיב לייבניץ, אם <math>y=f(u)</math> וכן <math>u=g(x)</math> , אזי <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}</math> .

בניגוד לכללי האריתמטיקה לנגזרות האחרים, ההוכחה של כלל השרשרת היא מעט מורכבת. הדבר האינטואיטיבי לעשות הוא לפתח את הנגזרת של ההרכבה עפ"י ההגדרה ואז להכפיל ולחלק ב- <math>g(a+h)-g(a)</math> כדי להגיע להגדרת הנגזרת של עבור כל אחת מהפונקציות אך הכשל בהוכחה שכזו הוא שאין זה מובטח כי <math>g(a+h)-g(a)</math> בו מחלקים אינו שווה 0 ובמידה והוא שווה 0, ההוכחה כושלת.

לדוגמא: הפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> , אף שהיא גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש נקודה t בה <math>f(0)=f(t)=0</math> . 

בהוכחות של הכללים האחרים חיברנו וחיסרנו אברים כדי להגיע לצורות מתאימות ובכך לא היתה בעיה, אך כאן אין ברירה אלא למצוא גישה אחרת.


;הקדמה להוכחה
בהוכחה זו נשתמש בסימון דלתא למטרות נוחיות בכתיבה.

נסמן <math>y=f(x)</math> וכן <math>\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)</math> . אזי לפי הגדרת הנגזרת נקבל <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(a)</math> .

נסמן <math>\varepsilon=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)</math> ואז
<center><math>\lim_{\Delta x\to 0}\varepsilon=\lim_{\Delta x\to 0}\left[\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)\right]=f'(a)-f'(a)=0</math></center>

מהגדרת אפסילון נקבל <math>\Delta y=f'(a)\Delta x+\varepsilon\Delta x</math> . נגדיר <math>\varepsilon=0</math> כאשר <math>\Delta x=0</math> ואז <math>\varepsilon</math> יהיה פונקציה רציפה של <math>\Delta x</math> .

לפיכך נוכל לכתוב
:<math>\Delta y=f'(a)\Delta x+\varepsilon\Delta x</math> כאשר <math>\lim_{\Delta x\to 0}\varepsilon=0</math> .
תכונה זו של פונקציה גזירה מאפשרת לנו להוכיח את כלל השרשרת.


;הוכחה
תהי <math>u=g(x)</math> גזירה בנקודה <math>a</math> ותהי <math>y=f(u)</math> גזירה בנקודה <math>b=g(a)</math> . המשוואה שהגענו אליה בהקדמה להוכחה נותנת לנו:

:<math>\Delta u=g'(a)\Delta x+\varepsilon_1\Delta x=\big[g'(a)+\varepsilon_1\big]\Delta x</math> כאשר <math>\lim_{\Delta x\to0}\varepsilon_1=0</math>
באופן דומה, עבור <math>y</math> :
:<math>\Delta y=f'(b)\Delta u+\varepsilon_2\Delta u=\big[f'(b)+\varepsilon_2\big]\Delta u</math> כאשר <math>\lim_{\Delta x\to0}\varepsilon_2=0</math> .
כעת נציב את הביטוי עבור <math>\Delta u</math> בביטוי עבור <math>\Delta y</math> .
:<math>\Delta y=\big[f'(b)+\varepsilon_2\big]\big[g'(a)+\varepsilon_1\big]\Delta x</math>
אזי,
:<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}=\big[f'(b)+\varepsilon_2\big]\big[g'(a)+\varepsilon_1\big]</math>
מכיון ש- <math>\lim_{\Delta x\to0}\varepsilon_1=\lim_{\Delta x\to0}\varepsilon_2=0</math> , נקבל:
<center>
<math>\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\big[f'(b)+\varepsilon_2\big]\big[g'(a)+\varepsilon_1\big]=f'(b)\cdot g'(a)=f'(g(a))\cdot g'(a)</math>
</center>
<math>\blacksquare</math>

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיפדיה=כלל השרשרת}}

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]