הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט פרמה"

;משפט
אם <math>f</math> פונקציה גזירה בנקודה <math>a</math> כאשר זו נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי, אזי <math>f'(a)=0</math> .

;הוכחה
נוכיח עבור מקסימום מקומי.

קיים <math>\delta>0</math> עבורו לכל <math>x\in(a-\delta,a+\delta)</math> מתקיים <math>f(x)\le f(a)</math> . לכן <math>f(x)-f(a)\le0</math> .

עבור <math>x<a</math> בסביבה נחלק ב־<math>x-a<0</math> ונקבל <math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge0</math> . מ[[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות של גבולות|משפט המונוטוניות של גבולות]] נובע כי
:<math>f'(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge0</math>
עבור <math>x>a</math> בסביבה נחלק ב־<math>x-a>0</math> ונקבל <math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le0</math> . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי
:<math>f'(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le0</math>
קיבלנו כי <math>0\le f'(a)\le0</math> , לכן <math>f'(a)=0</math> .

<math>\blacksquare</math>

הערה: ההוכחה עבור מינימום מקומי זהה. ההבדל היחיד הוא כי בה <math>f(x)\ge f(a)</math> , אבל עדיין הגבולות החד־צדדיים יהיו נוגדים זה לזה כמו כאן ומתקבלת המסקנה כי הנגזרת בנקודה היא 0.

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]