הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט פרמה

משפט

אם $f$ פונקציה גזירה בנקודה $a$ כאשר זו נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי, אזי $f^{\prime }(a)=0$ .

הוכחה

נוכיח עבור מקסימום מקומי.

קיים $\delta >0$ עבורו לכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ מתקיים $f(x)\le f(a)$ . לכן $f(x)-f(a)\le 0$ .

עבור $x<a$ בסביבה נחלק ב־$x-a<0$ ונקבל $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0$ . מ[[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות של גבולות|משפט המונוטוניות של גבולות]] נובע כי

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0$

עבור $x>a$ בסביבה נחלק ב־$x-a>0$ ונקבל $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0$ . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0$

קיבלנו כי $0\le f^{\prime }(a)\le 0$ , לכן $f^{\prime }(a)=0$ .

$◼$

הערה: ההוכחה עבור מינימום מקומי זהה. ההבדל היחיד הוא כי בה $f(x)\ge f(a)$ , אבל עדיין הגבולות החד־צדדיים יהיו נוגדים זה לזה כמו כאן ומתקבלת המסקנה כי הנגזרת בנקודה היא 0.