הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של מכפלת פונקציות"

;משפט
אם הפונקציות <math>f,g</math> גזירות, אזי <math>\frac{d}{dx}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=g(x)\cdot\frac{d}{dx}f(x)+f(x)\cdot\frac{d}{dx}g(x)</math> .

====הוכחה ישירות מהגדרת הנגזרת====
:<math display=block>\begin{align}\frac{d}{dx}\big(f(x)\cdot g(x)\big)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-{\color{blue}f(x)g(x+h)}+{\color{blue}f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to0}f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}g(x+h)\cdot\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to0}f(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=g(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=g(x)\cdot\frac{d}{dx}f(x)+f(x)\cdot\frac{d}{dx}g(x)\end{align}</math>
המעבר <math>\lim_{h\to0}g(x+h)=g(x)</math> הוא מפני ש־<math>g</math> רציפה ב־<math>x</math> ([[../../גזירות/גזירות גוררת רציפות|גזירות בנקודה גוררת רציפות בה]]).

<math>\blacksquare</math>

====הוכחה דרך גזירה לוגריתמית====
נסמן <math>y=f(x)g(x)</math> . אזי מתקיים:
:<math display=block>\ln(y)=\ln\bigl|f(x)g(x)\bigr|=\ln\bigl|f(x)\bigr|+\ln\bigl|g(x)\bigr|</math>
נגזור לפי [[../../גזירות/כלל השרשרת|כלל השרשרת]] ונקבל:
:<math display=block>\begin{matrix}\dfrac{y'}{y}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}+\dfrac{g'(x)}{g(x)}\\y'=f(x)g(x)\left(\dfrac{f'(x)}{f(x)}+\dfrac{g'(x)}{g(x)}\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{matrix}</math>
<math>\blacksquare</math>

הערה: במבט ראשון, הוכחה זו עלולה להידמות כבעלת הגיון מעגלי אבל למעשה נוסחת כלל השרשרת ונגזרת הלוגריתם הטבעי ניתנות להוכחה באופן עצמאי לחלוטין, ללא שימוש בכלל למכפלת נגזרות.
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]