הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של מכפלת פונקציות

משפט

אם הפונקציות $f,g$ גזירות, אזי $\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=g(x)\cdot \frac{d}{dx}f(x)+f(x)\cdot \frac{d}{dx}g(x)$ .

הוכחה ישירות מהגדרת הנגזרת

$$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }f(x)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =g(x)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =g(x)\cdot \frac{d}{dx}f(x)+f(x)\cdot \frac{d}{dx}g(x)\end{array}$$

המעבר $\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)=g(x)$ הוא מפני ש־$g$ רציפה ב־$x$ ([[../../גזירות/גזירות גוררת רציפות|גזירות בנקודה גוררת רציפות בה]]).

$◼$

הוכחה דרך גזירה לוגריתמית

נסמן $y=f(x)g(x)$ . אזי מתקיים:

$$\ln (y)=\ln |f(x)g(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|$$

נגזור לפי [[../../גזירות/כלל השרשרת|כלל השרשרת]] ונקבל:

$$\begin{array}{c}\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\\ y^{\prime }=f(x)g(x)(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)})=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\end{array}$$

$◼$

הערה: במבט ראשון, הוכחה זו עלולה להידמות כבעלת הגיון מעגלי אבל למעשה נוסחת כלל השרשרת ונגזרת הלוגריתם הטבעי ניתנות להוכחה באופן עצמאי לחלוטין, ללא שימוש בכלל למכפלת נגזרות.