הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/סידור מונומי"

==הגדרה 1==
תהי <math>(A_1,\ldots,A_n)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר:
:<math>\vec{A}{}^n=(A_1,\ldots,A_n)</math>
עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{F}{}^m,\vec{G}{}^n</math> נגדיר:
:<math>\vec{F}{}^m(\vec{G}{}^n)=\bigl(F_1(G_1,\ldots,G_n),\ldots,F_m(G_1,\ldots,G_n)\bigr)</math>
סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים ובהוכחה.

==הגדרה 2==
יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה. אזי <math>\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbb{F}</math>.

'''[[w:מונום|מונום]]''' ('''חד־אבר''') הוא פולינום מן הצורה <math>c\,X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math>, כאשר <math>c\in\mathbb{F}</math> וכן <math>a_1,\ldots,a_n\in\N</math>.

==הגדרה 3==
יהי <math>X=X_1\!\cdots X_n</math>, ויהי <math>a=(a_1,\ldots,a_n)\in\N^n</math> וקטור מעריכים. נגדיר:
*<math>X^a=X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n}</math>
*<math>\deg(X^a)=a_1\!+\cdots+a_n</math>
*מעלת פולינום (שאינו פולינום האפס) שוה למקסימלית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו.

===תכונות===
מכפלת מונומים מקיימת [[w:מרחב וקטורי|חיבור וקטורי מעריכים]]:
:<math>\begin{align}X^a\!\cdot X^b&=(X_1^{a_1}\!\cdots X_n^{a_n})\cdot(X_1^{b_1}\!\cdots X_n^{b_n})\\[5pt]&=(X_1^{a_1}\!\cdot X_1^{b_1})\cdots(X_n^{a_n}\!\cdot X_n^{b_n})\\[5pt]&=X_1^{a_1+b_1}\!\cdots X_n^{a_n+b_n}\\[5pt]&=X^{a+b}\end{align}</math>

==הגדרה 4==
יהיו <math>X^a,X^b</math> מונומים.

נאמר כי <math>X^a</math> '''בעל סדר קטן מ־'''<math>X^b</math> (ונסמן <math>X^a\!\prec X^b</math>) אם קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים
:<math>\begin{cases}a_i=b_i&:\!1\le i\le k-1\\[3pt]a_i<b_i&:i=k\end{cases}</math>
במלים אחרות, בין שני הוקטורים <math>(a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)</math> קיים [[w:יחס סדר מילוני|יחס סדר מילוני]].

למונום בעל בעל הסדר המקסימלי בפולינום <math>F</math> נקרא '''המונום המוביל''', ונסמנו <math>\text{L}(F)</math>.

===דוגמא===
:<math>x_1^7x_2^3x_3^{10}\!\prec x_1^7x_2^{31}x_3\iff(7,3,10)\prec(7,31,1)</math>

==[[w:למה (מתמטיקה)|למה]]==
יהיו <math>F,G\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינומים. אזי מתקיים <math>\text{L}(F\cdot G)=\text{L}(F)\cdot\text{L}(G)</math>.

===הוכחה===
יהיו <math>X^a,X^b,X^f,X^g</math> מונומים, כאשר <math>X^f=\text{L}(F),\,X^g=\text{L}(G)</math>.

1. נניח כי <math>X^a\!\prec X^f</math>. נראה כי מתקיים <math>X^{a+c}\!\prec X^{f+c}</math> לכל <math>X^c</math>.{{ש}}
מן ההגדרה, קיים אינדקס <math>1\le k\le n</math> עבורו מתקיים
:<math>\begin{cases}a_i(+\,c_i)=f_i(+\,c_i)&:\!1\le i\le k-1\\[3pt]a_i(+\,c_i)<f_i(+\,c_i)&:i=k\end{cases}</math>
2. נניח כי גם <math>X^b\prec X^g</math>. נראה כי מתקיים <math>X^{a+b}\!\prec X^{f+g}</math>.{{ש}}
מן ההגדרה, קיימים אינדקסים <math>k_1,k_2\in\{1,\ldots,n\}</math> עבורם מתקיים בהתאמה
:<math>\begin{align}&\begin{cases}a_i=f_i&:\!1\le i\le k_1-1\\[3pt]a_i<f_i&:i=k_1\end{cases},\quad\begin{cases}b_i=g_i&:\!1\le i\le k_2-1\\[3pt]b_i<g_i&:i=k_2\end{cases}\\[8pt]&\begin{cases}1\le k_1\le k_2\le n\!:&(a_{k_1}\!<f_{k_1}\!)\and(b_{k_1}\!\le g_{k_1}\!)\,\implies\,a_{k_1}\!+b_{k_1}\!<f_{k_1}\!+g_{k_1}\\[5pt]1\le k_2<k_1\le n\!:&(a_{k_2}\!=f_{k_2}\!)\and(b_{k_2}\!<g_{k_2}\!)\,\implies\,a_{k_2}\!+b_{k_2}\!<f_{k_2}\!+g_{k_2}\end{cases}\!\Bigg\}\,\implies\,X^{a+b}\!\prec X^{f+g}\end{align}</math>
כלומר:
:<math>\text{L}(F\cdot G)=X^{f+g}=X^f\cdot X^g=\text{L}(F)\cdot\text{L}(G)</math>

<math>\square</math>

==הגדרה 5==
יהי <math>F\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]</math> פולינום. נגדיר:
:<math>\text{D}(F)=\Big\{X^a\!\in\mathbb{F}[\vec{X}{}^n]:\deg(X^a)\le\deg(\text{L}(F)),X^a\!\prec\text{L}(F)\Big\}</math>
כלומר, קבוצת כל [[w:פולינום מתוקן|המונומים המתוקנים]] ממעלה <math>\deg(\text{L}(F))\ge</math> ובעלי סדר קטן מזה של <math>\text{L}(F)</math>.

===דוגמא===
:<math>\begin{align}&F(x_1,x_2)=4+3x_1+2x_1^2x_2+x_2^4\\[3pt]&\text{L}(F)=2x_1^2x_2\\[3pt]&\text{D}(F)=\Big\{x_1x_2^2,x_1^2,x_1x_2,x_2^2,x_1,x_2,1\Big\}\end{align}</math>

{{תוכן|
|הפרק הקודם=[[../|הקדמה]]
|הפרק הנוכחי=סידור מונומי
|הפרק הבא=[[../תמורות וסימטריה/]]
}}

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]]