הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/סידור מונומי

הגדרה 1

תהי $(A_{1}, \dots, A_{n})$ n־יה סדורה. נגדיר:

\vec{A}^{n} = (A_{1}, \dots, A_{n})

עבור פונקציות $\vec{F}^{m}, \vec{G}^{n}$ נגדיר:

\vec{F}^{m} (\vec{G}^{n}) = (F_{1} (G_{1}, \dots, G_{n}), \dots, F_{m} (G_{1}, \dots, G_{n}))

סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים ובהוכחה.

הגדרה 2

יהי $𝔽$ שדה. אזי $𝔽 [\vec{X}^{n}]$ הוא מרחב הפולינומים במשתנים $X_{1}, \dots, X_{n}$ עם מקדמים ב־ $𝔽$ .

מונום (חד־אבר) הוא פולינום מן הצורה $c X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}}$ , כאשר $c \in 𝔽$ וכן $a_{1}, \dots, a_{n} \in ℕ$ .

הגדרה 3

יהי $X = X_{1} \dots X_{n}$ , ויהי $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in ℕ^{n}$ וקטור מעריכים. נגדיר:

$X^{a} = X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}}$
$\deg (X^{a}) = a_{1} + \dots + a_{n}$
מעלת פולינום (שאינו פולינום האפס) שוה למקסימלית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו.

תכונות

מכפלת מונומים מקיימת חיבור וקטורי מעריכים:

\begin{matrix} X^{a} \cdot X^{b} & = (X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}}) \cdot (X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}}) \\ = (X_{1}^{a_{1}} \cdot X_{1}^{b_{1}}) \dots (X_{n}^{a_{n}} \cdot X_{n}^{b_{n}}) \\ = X_{1}^{a_{1} + b_{1}} \dots X_{n}^{a_{n} + b_{n}} \\ = X^{a + b} \end{matrix}

הגדרה 4

יהיו $X^{a}, X^{b}$ מונומים.

נאמר כי $X^{a}$ בעל סדר קטן מ־ $X^{b}$ (ונסמן $X^{a} ≺ X^{b}$ ) אם קיים אינדקס $1 \leq k \leq n$ עבורו מתקיים

{\begin{matrix} a_{i} = b_{i} & : 1 \leq i \leq k - 1 \\ a_{i} < b_{i} & : i = k \end{matrix}

במלים אחרות, בין שני הוקטורים $(a_{1}, \dots, a_{n}), (b_{1}, \dots, b_{n})$ קיים יחס סדר מילוני.

למונום בעל בעל הסדר המקסימלי בפולינום $F$ נקרא המונום המוביל, ונסמנו $L (F)$ .

דוגמא

x_{1}^{7} x_{2}^{3} x_{3}^{10} ≺ x_{1}^{7} x_{2}^{31} x_{3} ⟺ (7, 3, 10) ≺ (7, 31, 1)

למה

יהיו $F, G \in 𝔽 [\vec{X}^{n}]$ פולינומים. אזי מתקיים $L (F \cdot G) = L (F) \cdot L (G)$ .

הוכחה

יהיו $X^{a}, X^{b}, X^{f}, X^{g}$ מונומים, כאשר $X^{f} = L (F), X^{g} = L (G)$ .

1. נניח כי $X^{a} ≺ X^{f}$ . נראה כי מתקיים $X^{a + c} ≺ X^{f + c}$ לכל $X^{c}$ .תבנית:ש מן ההגדרה, קיים אינדקס $1 \leq k \leq n$ עבורו מתקיים

{\begin{matrix} a_{i} (+ c_{i}) = f_{i} (+ c_{i}) & : 1 \leq i \leq k - 1 \\ a_{i} (+ c_{i}) < f_{i} (+ c_{i}) & : i = k \end{matrix}

2. נניח כי גם $X^{b} ≺ X^{g}$ . נראה כי מתקיים $X^{a + b} ≺ X^{f + g}$ .תבנית:ש מן ההגדרה, קיימים אינדקסים $k_{1}, k_{2} \in {1, \dots, n}$ עבורם מתקיים בהתאמה

\begin{matrix} {\begin{matrix} a_{i} = f_{i} & : 1 \leq i \leq k_{1} - 1 \\ a_{i} < f_{i} & : i = k_{1} \end{matrix}, {\begin{matrix} b_{i} = g_{i} & : 1 \leq i \leq k_{2} - 1 \\ b_{i} < g_{i} & : i = k_{2} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} 1 \leq k_{1} \leq k_{2} \leq n : & (a_{k_{1}} < f_{k_{1}}) \land (b_{k_{1}} \leq g_{k_{1}}) ⟹ a_{k_{1}} + b_{k_{1}} < f_{k_{1}} + g_{k_{1}} \\ 1 \leq k_{2} < k_{1} \leq n : & (a_{k_{2}} = f_{k_{2}}) \land (b_{k_{2}} < g_{k_{2}}) ⟹ a_{k_{2}} + b_{k_{2}} < f_{k_{2}} + g_{k_{2}} \end{matrix}} ⟹ X^{a + b} ≺ X^{f + g} \end{matrix}

כלומר:

L (F \cdot G) = X^{f + g} = X^{f} \cdot X^{g} = L (F) \cdot L (G)

$◻$

הגדרה 5

יהי $F \in 𝔽 [\vec{X}^{n}]$ פולינום. נגדיר:

D (F) = {X^{a} \in 𝔽 [\vec{X}^{n}] : \deg (X^{a}) \leq \deg (L (F)), X^{a} ≺ L (F)}

כלומר, קבוצת כל המונומים המתוקנים ממעלה $\deg (L (F)) \geq$ ובעלי סדר קטן מזה של $L (F)$ .

דוגמא

\begin{matrix} F (x_{1}, x_{2}) = 4 + 3 x_{1} + 2 x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{4} \\ L (F) = 2 x_{1}^{2} x_{2} \\ D (F) = {x_{1} x_{2}^{2}, x_{1}^{2}, x_{1} x_{2}, x_{2}^{2}, x_{1}, x_{2}, 1} \end{matrix}

תבנית:תוכן

הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/סידור מונומי

תוכן עניינים

הגדרה 1

הגדרה 2

הגדרה 3

תכונות

הגדרה 4

דוגמא

למה

הוכחה

הגדרה 5

דוגמא

תפריט ניווט

הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/סידור מונומי

הגדרה 1

הגדרה 2

הגדרה 3

תכונות

הגדרה 4

דוגמא

למה

הוכחה

הגדרה 5

דוגמא

תפריט ניווט

חיפוש