הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי"

<math>\sqrt[n]a</math> הוא מספר שלם או אי־רציונלי לכל <math>a,n\in\N_{>1}</math> .

;הוכחה
נניח בשלילה כי <math>\sqrt[n]{a}=\frac{b}{c}</math> עבור מספרים זרים <math>b,c\in\N_{>1}</math> (שמחלקם המשותף המקסימלי הוא 1).
:<math>\begin{align}a=\left(\frac{b}{c}\right)^n=\frac{b^n}{c^n}\\ac^n=b^n\end{align}</math>
לפי [[w:המשפט היסודי של האריתמטיקה|המשפט היסודי]] קיים מספר ראשוני <math>p</math> עבורו <math>p|c^n</math> .

לפי [[w:הלמה של אוקלידס|הלמה של אוקלידס]] אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק '''לפחות אחד מגורמיה'''. לפיכך
:<math>p|c^n\implies p|c\implies p|ac^n\implies p|b^n\implies p|b</math>
קיבלנו <math>p|b</math> וגם <math>p|c</math> אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. ''סתירה''.

<math>\blacksquare</math>

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]