הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/שונות/e מספר אי-רציונלי"

הקבוע המתמטי <math>e=\sum_{n\,=\,0}^\infty\frac{1}{n!}=2.718281\ldots</math> הוא מספר אי-רציונלי. כלומר לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים.

==הוכחה==
נניח בשלילה כי <math>e</math> רציונלי, כלומר קיימים <math>a,b\in\N</math> עבורם <math>e=\frac{a}{b}</math>.{{ש}}
נגדיר את המספר
:<math>N=b!\left(e-\sum_{n\,=\,0}^b\frac{1}{n!}\right)=b!\left(\frac{a}{b}-\sum_{n\,=\,0}^b\frac{1}{n!}\right)=a\,(b-1)!-\sum_{n\,=\,0}^b\frac{b!}{n!}</math>
זהו מספר טבעי, משום שמתקיים <math>n\le b</math> ולכן כל שבר בסכום הוא מספר טבעי.

לפיכך ניתן לכתוב:
:<math>\begin{align}N=b!\left(\sum_{n\,=\,0}^\infty\frac{1}{n!}-\sum_{n\,=\,0}^b\frac{1}{n!}\right)=\!\sum_{n\,=\,b+1}^\infty\!\frac{b!}{n!}&=\frac{b!}{(b+1)!}+\frac{b!}{(b+2)!}+\frac{b!}{(b+3)!}+\cdots\\&=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+\cdots\\&<\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^3}+\cdots\\&=\sum_{n\,=\,1}^\infty\frac{1}{(b+1)^n}=\frac{\frac{1}{b\,+\,1}}{1-\frac{1}{b\,+\,1}}=\frac{1}{b}<1\end{align}</math>
הביטוי האחרון הוא טור הנדסי אינסופי שמנתו <math>\frac{1}{b+1}<1</math>. לכן <math>0<N<1</math>. סתירה.

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]