הוכחות מתמטיות/שונות/e מספר אי-רציונלי

הקבוע המתמטי $e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=2.718281\dots$ הוא מספר אי-רציונלי. כלומר לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים.

הוכחה

נניח בשלילה כי $e$ רציונלי, כלומר קיימים $a,b\in \mathbb{N}$ עבורם $e=\frac{a}{b}$.תבנית:ש נגדיר את המספר

$N=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}$

זהו מספר טבעי, משום שמתקיים $n\le b$ ולכן כל שבר בסכום הוא מספר טבעי.

לפיכך ניתן לכתוב:

$\begin{array}{cc}N=b!(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}& =\frac{b!}{(b+1)!}+\frac{b!}{(b+2)!}+\frac{b!}{(b+3)!}+\cdots \\ & =\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+\cdots \\ & <\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1{)}^2}+\frac{1}{(b+1{)}^3}+\cdots \\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^n}=\frac{\frac{1}{b+1}}{1-\frac{1}{b+1}}=\frac{1}{b}<1\end{array}$

הביטוי האחרון הוא טור הנדסי אינסופי שמנתו $\frac{1}{b+1}<1$. לכן $0<N<1$. סתירה.