הצגת המקור של הדף "הסתברות/משתנים מקריים/פונקציות של משתנים מקריים"

{{הסתברות}}
{{למה|תוכן=אם h פונקציה כך ש- <math>\ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> ואם X מ"מ, אז גם <math>\ Y=h(X)</math> מ"מ.}}
{{למה|שם=אי תלות של טרנספורמציות|תוכן=אם X,Y מ"מ ב"ת, אז גם הטרנספורמציות <math>\ g(X), h(Y)</math> הינן בלתי-תלויות.}}

==צפיפות של טרנספורמציה==
כאשר מדובר בפונקציות התפלגות פשוטות, ניתן לבצע פעולות בתוך פונקצית ההתפלגות:
:<math>\ F_Y(y)= \mathbb{P}(Y\le y)= \mathbb{P}(h(X)\le y)= \mathbb{P}({X|h(X)\le y})</math>
אך במקרים רבים פשוט נעדיף להעזר במשפט:
{{משפט|שם=צפיפות של טרנספורמציה|תוכן=תהי h חח"ע וגזירה בתומך של המ"מ X, ו-X בעל צפיפות <math>\ f_X(x)</math>. אז הצפיפות של <math>\ Y=h(X)</math> נתונה על ידי: <math>\ f_Y(y)= |h^{-1}(y)'|f_X[h^{-1}(y)]</math>.}}

===הוכחה===
תהי <math>h(x)</math> ונניח כי <math>h'(x)\ne0</math>.<br>

נסתכל על פונקציית ההתפלגות:<math>F_Y(y)</math>:<br>

<math>F_Y(y) = P(Y\le y) = P(h(X)\le y)  = P(X\le h^{-1}(y))=F_X(h^{-1}(y))</math><br>

ואם נגזור את שני האגפים לפי <math>y</math> נקבל את התוצאה המבוקשת.
<br>

הערה:
ההוכחה היתה עבור פונקציה <math>h</math> עולה, ההוכחה זהה עבור פונקציה יורדת אך עם החלפת סימנים במקומות מסוימים.

===דוגמאות===
(להשלים)

==צפיפות של טרנספורמציה: הכללה==
{{משפט|שם=צפיפות של טרנספורמציה (הכללה)|תוכן=אם ניתן לפרק את h ל-n קטעים אשר מרכיבים את התומך, ובכל אחד מהם h חח"ע וגזירה, ו- <math>\ Y=h(X)</math> אז: <math>\ f_Y(y)= \sum\limits_{i=1}^n |h_i^{-1}(y)'|f_X[h_i^{-1}(y)]</math>.}}

===הוכחה===
(להשלים)

===דוגמאות===
(להשלים)

[[קטגוריה:הסתברות (לאוניברסיטה)|ט]]
{{הסתברות|מוגבל}}