הצגת המקור של הדף "חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/האינטגרל הלא-מסוים"

'''האינטגרל הלא-מסוים''' של פונקציה <math>f(x)</math> הוא הפונקציה הקדומה שלה, כלומר הפונקציה <math>F(x)</math> המקיימת <math>F'(x)=f(x)</math> לכל x. מסמנים זאת <math>F(x)=\int f(x)dx</math>.

האינטגרל נקרא '''לא-מסוים''' כי הוא לא נותן פונקציה יחידה, אלא אינסוף פונקציות, מכיון שלכל פונקציה קדומה <math>F(x)</math> קיימת פונקציה <math>G(x)=F(x)+c</math> המקיימת <math>G'(x)=F'(x)</math>, כלומר גם היא פונקציה קדומה של <math>f(x)</math>. לכן נצטרך להוסיף לסימן האינטגרל את הקבוע c הנקרא '''קבוע האינטגרציה''' ומסמל מספר כלשהו: <math>\int f(x)dx=F(x)+c</math>.

==חישוב האינטגרל==
חישוב האינטגרל נעשה באמצעות נגזרות של פונקציות ידועות (מה שנקרא '''אינטגרל מיידי'''), וכללי האינטגרציה. נדגיש כי לא לכל פונקציה קיימת פונקציה קדומה.
===אינטגרלים מיידיים===
* <math>\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c</math>
* <math>\int \frac{1}{\sqrt x}dx=2\sqrt x+c</math>
* <math>\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+c</math>
* <math>\int e^xdx=e^x+c</math>
* <math>\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+c</math>
* <math>\int \frac{1}{x}dx=\ln x+c</math>
* <math>\int \frac{1}{\ln a\cdot x}dx=\log_ax+c</math>
* <math>\int \sin xdx=-\cos x+c</math>
* <math>\int \cos xdx=\sin x+c</math>
* <math>\int \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+c</math>
* <math>\int \tan x\cdot \sec xdx=\sec x+c</math>
* <math>\int -\cot x\cdot \csc xdx=\csc x+c</math>
* <math>\int -\frac{1}{\sin^2 x}dx=\cot x+c</math>
* <math>\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}x+c</math>
* <math>\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\cos^{-1}x+c</math>
* <math>\int \frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x+c</math>
* <math>\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=\sec^{-1}x+c</math>
* <math>\int -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=\csc^{-1}x+c</math>
* <math>\int -\frac{1}{1+x^2}dx=\cot^{-1}x+c</math>
===חוקי האינטגרציה===
(הפונקציה <math>F</math> היא הפונקציה הקדומה של הפונקציה <math>f</math>)
* <math>\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx</math>
* <math>\int \Big(f(x)\pm g(x)\Big)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx</math>
* <math>\int f(mx+b)dx=\frac{F(mx+b)}{m}</math>
* <math>\int \Big(f(g(x))\cdot g'(x)\Big)dx=F(g(x))</math>
[[קטגוריה:חשבון אינטגרלי לתיכון]]