חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/האינטגרל הלא-מסוים

האינטגרל הלא-מסוים של פונקציה $f(x)$ הוא הפונקציה הקדומה שלה, כלומר הפונקציה $F(x)$ המקיימת $F^{\prime }(x)=f(x)$ לכל x. מסמנים זאת $F(x)=\int f(x)dx$.

האינטגרל נקרא לא-מסוים כי הוא לא נותן פונקציה יחידה, אלא אינסוף פונקציות, מכיון שלכל פונקציה קדומה $F(x)$ קיימת פונקציה $G(x)=F(x)+c$ המקיימת $G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)$, כלומר גם היא פונקציה קדומה של $f(x)$. לכן נצטרך להוסיף לסימן האינטגרל את הקבוע c הנקרא קבוע האינטגרציה ומסמל מספר כלשהו: $\int f(x)dx=F(x)+c$.

חישוב האינטגרל

חישוב האינטגרל נעשה באמצעות נגזרות של פונקציות ידועות (מה שנקרא אינטגרל מיידי), וכללי האינטגרציה. נדגיש כי לא לכל פונקציה קיימת פונקציה קדומה.

אינטגרלים מיידיים

• $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$
• $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+c$
• $\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+c$
• $\int e^{x}dx=e^x+c$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+c$
• $\int \frac{1}{\ln a\cdot x}dx={\log }_{a}x+c$
• $\int \sin xdx=-\cos x+c$
• $\int \cos xdx=\sin x+c$
• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+c$
• $\int \tan x\cdot \sec xdx=\sec x+c$
• $\int -\cot x\cdot \csc xdx=\csc x+c$
• $\int -\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\cot x+c$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx={\sin }^{-1}x+c$
• $\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx={\cos }^{-1}x+c$
• $\int \frac{1}{1+x^2}dx={\tan }^{-1}x+c$
• $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx={\sec }^{-1}x+c$
• $\int -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx={\csc }^{-1}x+c$
• $\int -\frac{1}{1+x^2}dx={\cot }^{-1}x+c$

חוקי האינטגרציה

(הפונקציה $F$ היא הפונקציה הקדומה של הפונקציה $f$)

• $\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx$
• $\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
• $\int f(mx+b)dx=\frac{F(mx+b)}{m}$
• $\int (f(g(x))\cdot g^{\prime }(x))dx=F(g(x))$