הצגת המקור של הדף "חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח"

==הוכחת הטענה: <math>\ \mathbb{Q} </math> הינה קבוצה בת מניה==
כפי שאמרנו בפרק [[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה|זה]], על מנת להוכיח את הטענה עלינו למצוא לקבוצה <math> \mathbb{Q} </math> סידור לפי סדר מסויים.</br>
<u>הוכחה</u>: נראה עבור רציונלים חיוביים, ואז נוכל, לפי אותו הסדר, לסדר גם את השליליים (בדיוק כמו שעשינו עם <math>\mathbb{Z}</math>).</br>
נסדר את המספרים הרציונלים בתוך טבלה גדולה בסדר הבא:</br>
[[תמונה:P6fst.jpg|אפשרות לסידור המספרים הרציונלים בטבלה, לפי סדר מסויים]]</br>
נסמן כעת מסלול בעזרת חיצים, באופן הבא:</br>
[[תמונה:P3fst.jpg|זהו הסדר שבו אנו בוחרים ללכת]]</br>
נלך כעת במסלול המסומן באמצעות החצים, ואז נוכל למנות אותם (כלומר: להגיד מי ראשון, מי שני וכולי). ▪</br>

==הוכחת הטענה: <math>\ \mathbb{R} </math> אינה קבוצה בת מניה==
<u>הוכחה</u>: מספיק שנוכיח עבור קטע קטן מ- <math>\ \mathbb{R} </math> (שהרי אם קטע מקבוצה מסויימת אינו בר מניה, ודאי שהקבוצה כולה אינה כזו!). לכן, נוכיח רק עבור הקטע <math>\ \left( 0,1 \right) </math>:</br>
נניח בשלילה ש- <math>\mathbb{R} </math> הינו בר-מניה. כלומר, נוכל לסדר את האיברים בשורה: <math>\ a^1,a^2,a^3\cdots </math> (כאשר המספרים <math>\ 1,2,3 </math> אינם מציינים חזקה, אלא את מיקום המספר בשורה). ונוכיח שקיים מספר אחד לפחות בקטע <math>\ \left( 0,1 \right) </math> שאינו ברשימה. נרשום כל אחד מהמספרים שברשימה <math>\ a^i </math> בצורה עשרונית: (המספרים שברשימה מסמלים את הספרות <math>\ 0-9 </math>):</br>
<center><math>\ a^1=0.b^1_1b^1_2b^1_3b^1_4b^1_5b^1_6b^1_7\cdots </math></center>


<center><math>\ a^2=0.b^2_1b^2_2b^2_3b^2_4b^2_5b^2_6b^2_7\cdots </math></center>


<center><math>\ a^3=0.b^3_1b^3_2b^3_3b^3_4b^3_5b^3_6b^3_7\cdots </math></center>


נבנה כעת את המספר <math>\ c </math> באופן הבא: <math>\ c=c_1c_2c_3c_4c_5c_6c_7\cdots </math>, כאשר נגדיר: 
<math>\ c_i= \left\{ \begin{matrix} 5 & b_i^i\neq 5 \\ 3 & b_i^i=5 \end{matrix} \right. </math>
. כלומר, המספר החדש <math>\ c </math> יהיה תמיד שונה <u>בספרה אחת לפחות</u> מכל מספר שברשימה (הוא יהיה שונה מהאיבר ה- <math>\ i </math> במקום ה- <math>\ i </math>)  
<math>\ c \ \Leftarrow </math> אינו מופיע ברשימה <math>\ \Leftarrow </math> הקטע <math>\ (0,1) </math> אינו בר מניה.</br>
וכאמור למעלה: <math>\ \left( 0,1 \right) \in\mathbb{R} </math> ואינו בר מניה <math>\ \mathbb{R} \ \Leftarrow </math> כולו אינו בר-מניה.</br> ▪
<u>הערות</u>:
*שיטה זו (בה הוכחנו ש- <math>\ \mathbb{R} </math> אינו בן-מניה) נקראת שיטת האלכסון של קנטור, ע"ש קנטור ממציא השיטה ומשום שבשיטה זו אנו יוצרים איבר חדש, השונה מכל האיברים הקיימים, הנוצר ב''אלכסון''.
*אנחנו מתבססים ללא הוכחה על העובדה שכל מספר ממשי ניתן להצגה לכל היותר בשתי צורות כפיתוח עשרוני, והמספרים היחידים שניתנים להצגה כפולה שכזו הם מספרים שנגמרים ב-<math>\ 999\dots</math> בהצגה אחת וב-<math>\ 000\cdots</math> בשנייה. בבירור המספר שבנינו אינו כזה, ולכן אין חשש שבנינו את אחד מהמספרים שכן הופיעו ברשימה בצורה שלו שלא הופיעה ברשימה.
*עוד על קבוצות בנות-מניה ושאינן בנות מניה, על שיטת האלכסון של קנטור ועוד - בקורס [[תורת הקבוצות]].


בחזרה לקורס [[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות|לחצו כאן]].