הצגת המקור של הדף "חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת"

== שיפוע של פונקציה לא לינארית ==
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.
<br>
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.

==הגדרת הנגזרת==
נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו-<math>\Delta x</math> הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.

השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
<math>m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>

ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.{{ש}}
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.{{ש}}
<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}</math>

אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:{{ש}}{{ש}}
<math>f'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}</math>

==דוגמא==
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה <math>f(x)=x^2</math>:
{{ש}}
<math>
\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{2x +\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}{2x} + \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x} = 2x + 0 = 2x
</math>