חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת

שיפוע של פונקציה לא לינארית

עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.

הגדרת הנגזרת

נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו-$\mathrm{\Delta }x$ הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.

השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת: $m=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

ככל ש-$\mathrm{\Delta }x$ קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.תבנית:ש נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.תבנית:ש $f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

אם נסמן $h=\mathrm{\Delta }x$, נקבל:תבנית:שתבנית:ש $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

דוגמא

גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה $f(x)=x^2$: תבנית:ש $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{2x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }x(2x+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }2x+\mathrm{\Delta }x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }2x+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }x=2x+0=2x$