הצגת המקור של הדף "מבנים אלגבריים/הקדמה/תמורות"

{{מבנים אלגבריים}}
הפירוש המילולי של המילה "תמורה" הוא שינוי. אכן, לאחר קריאת ההגדרה, יוכל הקורא להווכח בקלות בדמיון הרב שיש בין ההגדרה המילולית להגדרה המתמטית ואולי אף יוכל לדמיין לעצמו את העניין הרב שמצאו (ועדיין מוצאים) המתמטיקאים (ואלה המתמחים באלגברה בפרט) במושג התמורה.

אין ספק שהמושג של תמורה עיקרי באלגברה ובאלגברה ליניארית, ובלעדיו אין הלימוד של מבנים אלגברים שלם, שכן, משפטים רבים נסתמכים על ידע בתמורות ואפילו מראים שישנן "צורות קנוניות" של חבורות בדמות חבורת תמורות, ועל כן תרומתן רבה.
=הגדרות בסיסיות=
נתחיל בהגדרה של תמורה על קבוצה כללית כלשהי ונמשיך משם:

{{הגדרה|מספר=|שם=תמורה על קבוצה S
|תוכן=תהי <math>\ S </math> קבוצה כלשהי. הפונקציה <math> \sigma :S\rightarrow S </math> תיקרא תמורה של <math>\ S </math> אםם 
<math>\ \sigma</math> חח"ע ועל
}}

כמובן שקל לראות שעבור כל קבוצה בהכרח קיימת העתקה חח"ע ועל ממנה לעצמה, והיא העתקת הזהות. בפרק זה נסמן את העתקת הזהות בתור 
<math>\ id </math>.

באופן טבעי נגדיר הרכבה של תמורות כך:
{{הגדרה|מספר=|שם=הרכבה של תמורות
|תוכן=תהי <math>\ S </math> קבוצה כלשהי. ויהיו <math>\ \sigma  ,\tau </math>  תמורות כלשהן של <math>\ S </math>. נגדיר:
<center><math>\forall x\in S\quad (\sigma\circ\tau ) (x)=\sigma (\tau (x)) </math> </center>
לעיתים נשתמש בסימון <math>\ \sigma\circ\tau =\sigma\tau </math> .
}}

הקורא ימצא שאין זה קשה להוכיח שהרכבה של תמורות היא תמורה בעצמה. כמו כן, הטענה הבאה היא טריוואלית:
{{טענה|מספר=|שם=תמורה הפכית
|תוכן=לכל תמורה <math>\ \sigma </math> של הקבוצה <math>\ S </math>, קיימת תמורה <math>\ \tau </math> כך שמתקיים:
<center><math>\ \sigma\circ\tau =id </math> </center>
}}

הגדרה חשובה נוספת בהקשר של תמורות:
{{הגדרה|מספר=|שם=נקודות שבת
|תוכן=איבר <math>\ x\in S </math> כך שמתקיים <math>\ \sigma (x)=x </math> נקרא '''נקודת שבת''' של התמורה <math> \sigma </math>.
}}

=תמורות של קבוצה סופית=
לפני שנתחיל להתעסק בנושא העיקרי של פרק זה, נזדקק לעוד הגדרה קטנה:
{{הגדרה|מספר=|שם=
|תוכן=בהינתן <math>\ n\in\mathbb{N} </math> נסמן:
<center> <math>\ [n]=\{ 1,2,\ldots ,n\} </math> </center>
}}

==הגדרה==
{{הגדרה|מספר=|שם=תמורה על קבוצה סופית
|תוכן=תמורה על קבוצה סופית בת n איברים היא תמורה <math>\ \sigma :[n]\rightarrow [n] </math>.
}}

חשוב לציין, אמנם הבטחנו שנגדיר תמורה מעל קבוצה סופית '''כלשהי''', אבל אין בכך צורך, שכן כל קבוצה סופית שקולה במובן של קרדינלים לאיזושהי קבוצה <math>\ [n] </math> (עד כדי שינוי שמות האיברים וסידורם).

===דוגמאות===
# תמורת הזהות <math>\forall i\in [n]\quad id(i)=i </math>
#התמורה <math>\ \sigma :[3]\rightarrow [3] </math> המוגדרת ע"י <math>\ \sigma (1)=2 ;\quad \sigma (2)=3 ; \quad\sigma (3)=1 </math>
#התמורה <math>\ \sigma :[3]\rightarrow [3] </math> המוגדרת ע"י <math>\ \sigma (1)=3;\quad \sigma (2)=2; \quad\sigma (3)=1 </math>

==סימון מטריצאלי==
כפי שניתן לראות, סימון של תמורה ספציפית יכול להעשות די מסורבל בקבוצות סופיות. על כן הומצא הסימון המטריצאלי לתמורות.

{{הגדרה|מספר=|שם=סימון מטריצאלי לתמורות
|תוכן=בהינתן <math>\ \sigma :[n]\rightarrow [n] </math> נסמן את התמורה באופן הבא:
<center> <math> \sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma (1) & \sigma (2) & \cdots & \sigma (n)\end{pmatrix} </math> </center>
}}
===דוגמאות===
*תמורת הזהות:
<center> <math> id= \begin{pmatrix}1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix} </math> </center>
*התמורה מדוגמה 2 לעיל:
<center> <math> \sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix} </math> </center>
*התמורה מדוגמה 3 לעיל:
<center> <math> \sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix} </math> </center>

==הרכבה של תמורות==

=טרנספוזציות וסייקלים=
=סימן של תמורה=
=תכונות בסיסיות של תמורות=

{{מבנים אלגבריים|מוגבל}}

[[קטגוריה:מבנים אלגבריים|תמורות]]