הצגת המקור של הדף "משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת פורייה"

התמרת פורייה היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

"התמרת פורייה" בהקשר שלנו היא שם כולל ל-3 סוגי התמרות:
* התמרת פורייה טריגונומטרית
** התמרת סינוס
**:<math>\ \mathcal{F}\left[f(x)\right] = F(p) = \int\limits_0^{\infty} f(x)\sin(px)\mathrm{d}x</math>
** התמרת קוסינוס
**:<math>\ \mathcal{F}\left[f(x)\right] = F(p) = \int\limits_0^{\infty} f(x)\cos(px)\mathrm{d}x</math>
* התמרת פורייה מעריכית
**:<math>\ \mathcal{F}\left[f(x)\right] = F(p) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ipx}\mathrm{d}x</math>

==השיטה==
השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:
 <math>\ \mathcal{F}\left[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial^2 t} \right] = 
\int\limits_0^l \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial^2 t}\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) \mathrm{d}x = 
\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2} \int\limits_0^l u(x,t) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) \mathrm{d}x = 
\frac{\mathrm{d^2}U(t)}{\mathrm{d}t^2}
</math>

==דוגמאות==
===בעיית גלים במיתר סופי===
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
 <math>\ \begin{cases}
u_{tt}=c^2 u_{xx},\ 0\le x\le l \\
u(x,0)=u_t(x,0)=0 \\
u(0,t) = g(t),\ u(l,t)=0
\end{cases}
</math>

נפעיל התמרת סינוס סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה x (כי הבעיה מתוחמת ב-x):
 <math>\ \int\limits_0^l \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right) \mathrm{d}t = 
c^2 \int\limits_0^l \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right) \mathrm{d}x</math>
(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

באגף שמאל נבצע החלפת סדר בין גזירה לאינטגרציה ובאגף ימין מבצע אינטגרציה בחלקים:
 <math>\ {1\over c^2} U_n^{\prime\prime}(t) = \frac{n\pi}{l}g(t) - \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2 U_n(t)</math>

כלומר מתקבלת המד״ר:
 <math>\ U_n^{\prime\prime}(t) + \left(\frac{cn\pi}{l}\right)^2 U_n(t) = \frac{c^2n\pi}{l}g(t)</math>

ופתרונה מתקבל ע״י שימוש בפונקית גרין (עם ת״ה <math>\ U(0)=U_t(0)=0</math>) וקונבולוציה עם פונקצית האילוץ:
 <math>\ U_n(t) = c\int\limits_0^t \sin\frac{cn\pi\tau}{l}g(t-\tau)\mathrm{d}\tau</math>

כעת, באופן בלתי תלוי, נרשום ביטוי כללי לפיתוח של הפונקציה המקורית <math>\ u(x,t)</math> לטור סינוסים:
 <math>\ u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{l}</math>

כאשר b<sub>n</sub> הן פונקציות התלויות ב-t בלבד. כידוע מתורת הפיתוח לטורי פורייה, המקדמים b<sub>n</sub> ניתנים על ידי:
 <math>\ b_n = {2\over l} \int\limits_0^l u(x,t)\sin\frac{n\pi x}{l} \mathrm{d}x</math>

שימו לב כי האינטגרל שקבלנו הוא בדיוק ההתמרה שביצענו על u בתחילת הדרך (זו בדיוק ההתמרה ההפוכה!). לכן ניתן לכתוב:
 <math>\ b_n = {2\over l} U_n(t) \quad\Rightarrow\quad u(x,t) = {2\over l} \sum\limits_{n=1}^{\infty} U_n(t) \sin\frac{n\pi x}{l}</math>

נציב את U שקבלנו קודם ונקבלֹ:
 <math>u(x,t) = 2{c\over l} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin\frac{n\pi x}{l} \int\limits_0^t \sin\frac{cn\pi\tau}{l}g(t-\tau)\mathrm{d}\tau</math>

ראו גם [[משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת לפלס לפתרון בעיות תנאי התחלה#בעיית גלים במיתר סופי|פתרון הבעיה בעזרת התמרת לפלס]].

[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות חלקיות]]