משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת פורייה

התמרת פורייה היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

"התמרת פורייה" בהקשר שלנו היא שם כולל ל-3 סוגי התמרות:

• התמרת פורייה טריגונומטרית
  • התמרת סינוס

    $ℱ[f(x)]=F(p)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\sin (px)\mathrm{d}x$

  • התמרת קוסינוס

    $ℱ[f(x)]=F(p)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\cos (px)\mathrm{d}x$

• התמרת פורייה מעריכית

  • $ℱ[f(x)]=F(p)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{ipx}\mathrm{d}x$

השיטה

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:

$ℱ\left[\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{{\partial }^{2}t}\right]=\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{{\partial }^{2}t}\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}u(x,t)\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}U(t)}{\mathrm{d}{t}^2}$

דוגמאות

בעיית גלים במיתר סופי

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\{\begin{array}{c}{u}_{tt}=c^2{u}_{xx},0\le x\le l\\ u(x,0)=u_t(x,0)=0\\ u(0,t)=g(t),u(l,t)=0\end{array}$

נפעיל התמרת סינוס סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה x (כי הבעיה מתוחמת ב-x):

$\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}t=c^2\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x$

(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

באגף שמאל נבצע החלפת סדר בין גזירה לאינטגרציה ובאגף ימין מבצע אינטגרציה בחלקים:

$\frac{1}{c^2}{U}_n^{\prime \prime }(t)=\frac{n\pi }{l}g(t)-{\left(\frac{n\pi }{l}\right)}^2{U}_n(t)$

כלומר מתקבלת המד״ר:

$U_n^{\prime \prime }(t)+{\left(\frac{cn\pi }{l}\right)}^2{U}_n(t)=\frac{c^{2}n\pi }{l}g(t)$

ופתרונה מתקבל ע״י שימוש בפונקית גרין (עם ת״ה $U(0)=U_t(0)=0$) וקונבולוציה עם פונקצית האילוץ:

$U_n(t)=c\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \frac{cn\pi \tau }{l}g(t-\tau )\mathrm{d}\tau$

כעת, באופן בלתי תלוי, נרשום ביטוי כללי לפיתוח של הפונקציה המקורית $u(x,t)$ לטור סינוסים:

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l}$

כאשר b_n הן פונקציות התלויות ב-t בלבד. כידוע מתורת הפיתוח לטורי פורייה, המקדמים b_n ניתנים על ידי:

$b_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}u(x,t)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x$

שימו לב כי האינטגרל שקבלנו הוא בדיוק ההתמרה שביצענו על u בתחילת הדרך (זו בדיוק ההתמרה ההפוכה!). לכן ניתן לכתוב:

$b_n=\frac{2}{l}{U}_n(t)\Rightarrow u(x,t)=\frac{2}{l}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(t)\sin \frac{n\pi x}{l}$

נציב את U שקבלנו קודם ונקבלֹ:

$u(x,t)=2\frac{c}{l}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{n\pi x}{l}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \frac{cn\pi \tau }{l}g(t-\tau )\mathrm{d}\tau$

ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת לפלס.