הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום"

=הקדמה=
בפרק זה נלמד למצוא את הסכום/המכפלה של של סדרה נתונה. ראשית נזכיר שאת נוסחאת <u>הסכום</u> אנו יודעים מראש כיוון שהיא מופיע בתרגיל האינדוקציה, למשל, הסכום של הסדרה: <math>2+4+6+\cdots+2n=\underbrace{n(n+1)}_{*}</math> .

בכדי לגלות את סכום הסדר נציב את מיקום האבר <math>n</math> '''שעד אליו''' אנו רוצים לחשב.

נדגים <u>חישוב לסכום</u> של הסדרה :<math>2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)</math>
*עד האבר הראשון, נציב <math>n=1</math> בתבנית הסכום (*): <math>n(n+1)=1(1+1)=2</math> .
*עד האבר השלישי, נציב <math>n=3</math> בתבנית הסכום (*): <math>n(n+1)=3(3+1)=12</math> - נוכל לבדוק את הפתרון '''ידנית'''{{הערה|לפעמים גם בבגרות נוכל לבצע חישוב ידני}} על-ידי חיבור האברים עד האבר השלישי: <math>2+4+6=12</math> .

נדגים <u>חישוב למכפלה</u> של סדרה, <math>\left(1+\frac11\right)\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac13\right)\left(1+\frac1n\right)=n+1</math>
*עד האבר הראשון, נציב <math>n=1</math> בתבנית הסכום: <math>n+1=2\ \rightarrow\ 1+\frac11=2</math>
*עד האבר השלישי, נציב <math>n=3</math> בתבנית הסכום: <math>n+1=3+1=4\ \rightarrow\ \left(1+\frac11\right)\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac13\right)=2\cdot\frac32\cdot\frac43=4</math> .

<u>הוכחת אי-שוויון</u>, היא פעולה מורכבת יותר, אולם זהה לחלוטין לחישוב של ערך מספרי. בהוכחת אי-שוויון, אנו מציגים דרך '''חישוב''' של מספר אברים (באחת מפעולות החשבון), ו'''מוכחים''' כי הם''' מקיימים''' את אי-השוויון הנתון. למשל, נתונה הסדרה <math>n<\left(\frac32\right)^n</math> . 

הוכח כי: <math>1+2+3+\cdots+n<\left(\frac32\right)+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac32\right)^3+\cdots+\left(\frac32\right)^n</math>

בדרך כלל פירוק הסדרה, מקל על הבנתה ובאמצעות כך, קל יותר להוכיח את אי-השוויון {{הערה|נרחיב עוד על הנושא ב[[#הוכחת אי-שוויון|המשך]]}}

<math>\begin{align}&1+2+3+\cdots+n<\left(\frac32\right)+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac32\right)^3+\cdots+\left(\frac32\right)^n\\&1<\left(\frac32\right)\\&2<\left(\frac32\right)^2\\&3<\left(\frac32\right)^3\\& \vdots\\&n<\left(\frac32\right)^n\\ \end{align}</math>

זכור שבכדי לחשב סכום עלינו למצוא את<u>''' מיקום האבר (<math>n</math>)'''</u> .

=מצבים=
==חישוב סכום בתחום מסוים==
נזכיר כי עבור מציאת סכום/מכפלה של ססדרה עלינו למצוא את מיקום האבר עד אליו אנו רוצים לגלות את תוצאת הסדרה, למשל , <math>1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot5+\cdots+n(n+1)(2n+1)=\frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}</math> :
*עד לאבר <math>n=1</math> . נציב בתבנית המכפלה: <math>\frac{n}{2}(n+1)^2(n+2)=\frac{1}{2}(1+1)^2(1+2)=6\ \rightarrow\ 1\cdot2\cdot3</math>
*עד לאבר <math>n=2</math> . נציב בתבנית המכפלה: <math>\frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}=\frac{2(2+1)^2(2+2)}{2}=36\ \rightarrow\ 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot5</math>

פעמים נרצה תחום מסוים של מספרים, בכדי כך יהיה עלינו למצוא שני מיקומים, מיקום של האבר הראשון בחישוב ומיקומו של האבר האחרון בסדרה. נדגים חישוב תחום מסוים של אברים. מציאת מיקום האבר אותו אנו נדרשים לחשב, בדרך-כלל, פעולה פשוטה שניתן לזהות על-ידי העין, לדוגמא, אם נרצה לחשב את הסכום <math>21\cdot22+22\cdot23+\cdots+40\cdot41</math> בסדרה הבאה : 
<math>1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}</math> {{הערה|מתוך :[[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035302/תרגיל 3]]}}. נוכל לראות כי יש למצוא את מיקום המספר <math>20\cdot21</math> והאיבר <math>40\cdot41</math> . כל מספר מוכב מ"תתי-אברים" אשר ביניהם יש פעולת [[חשבון/כפל|כפל]]. נתבונן באבר הראשון של "תתי-האבר", <math>20\cdot21</math> , בכדי לגלות את מיקומו ה- <math>n</math>-י.

נתבונן על "[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/מציאת הנוסחא הכללית של הסדרה|הנוסחא לאבר במקום ה-n]]{{כ}} (<math>n(n+1)</math>) ונשווה לגודל האבר שלו אנו רוצים למצוא את מיקומו: <math>n(n+1)=20\cdot21</math> , אפשר לראות בברור כי <math>n=20</math> . נבצע את אותה פעולה עבור האבר השני, <math>n(n+1)=40</math> ונגלה שמיקומו של האבר הוא <math>n=40</math> {{הערה|שמו לב! כיון שמדובר בשני תתי-מספרים עבור אבר, לפעמים מתבלבלים, מה מיקומו של האבר, ערכו של המספר הראשון של תת-האבר או השני, כלומר, האם מיקומו של האבר הוא 20 או 21? תמיד, בתת-מספר, נתיחס אל האבר הראשון כמכריע.}}

עתה משיש לנו את מיקום האברים נוכל למצוא את סכום התחום על-ידי פעולת חיסור בין שני הסכומים:
<math>\begin{align}&S_{40}=\frac{41(41+1)(41+2)}{3}=24682\\-\\& \underline{S_{20}=\frac{20(20+1)(20+2)}{3}=3080}\\&S_{21-40}=19880\\ \end{align}</math>
 
<u>'''שימו לב!'''</u> כאשר לסדרה אשר האברים שלה קשורים זה לזה על-ידי פעולת '''כפל'''. בסדרה שכזו אנו נבצע '''פעולת חילוק בין המכפלות''', כמו בבגרות [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035303/תרגיל 2|קיץ 2002]].

==מכמה אברים מורכבת הסדרה?==
מדוגמאות לעיל, אנו לקחים שקיימים פעמים בהם האברים מורכבים. בתרגיל ההם, הבחנו בקלות כי מדובר באבר שלו כמה תתי-מספרים, אולם, לא תמיד נוכל לזהות זאת, לדוגמא כאשר מדובר בסדרה הנדסית שכל אבר בה מורכב ממכפלת שני אברים או בסדרה בה האבר מורכב מכפל שני אברים ועוד כפל שני אברים. כאשר מדובר בשיעורי בית, אנו יכולים לתקן את עצמנו בדיעבד, אך, בבגרות, אנו יכולים לבצע חישוב מוטעה או לא להצליח לבצע חישוב, רק בגלל שלא שמנו לב לנושא.

אז מה צריך לעשות בכדי לוודא שלא נתקל במצב בו? יש להשיםם לב לשני מצבים:
#כאשר מוצגים בתרגיל ארבע מספרים ראשונים (ולא שלושה) רוב הסיכויים שמדובר בסדרה עם תתי-אברים.
#בדיקה

בשלב הבדיקה אנו מגלים נתון יקר מאוד, מהי הוא האבר עליו אנו מביטים, לדוגמא, אם היינו נגשים לתרגיל:
:<math>2\cdot4+5\cdot4^2+8\cdot4^3+11\cdot4^4+\cdots+(6n-1)4^{2n}=\frac{(6n-2)\cdot4^{2n+1}+8}{3}</math> .
מבלי לבצע הוכחת אידוקציה, הינו מגלים את עצמנו מתקשים לגלות את מיקומו של האיב שערכו <math>26\cdot262,144</math> . מדוע זה?{{ש}}
כיון שכל אבר בסדרה מורכב מארבע מספרים שבין כל זוג פעולת חיבור. אם הינו מבצעים בדיקה, הינו מציבים <math>n=1</math> עבור <math>(6n-1)4^{2n}</math> ומגלים שלמעשה, בהצבת '''מיקום אחד''', אנו מגיעים אל המספר השני <math>(6\cdot1-1)4^{2\cdot1}=5\cdot4^2</math> ומכאן נסיק שכל אבר מורכב, מארבע מספרים. סעיף זה, משלים את ה[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/מקרים באינדוקציה#עד האיבר המתאים|נושא]] שנלמד בפרקים קודמים.

==החסרת/הוספת אבר וחישוב עד לתת סעיף==
{{הערה|ראה: [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף/035806/תרגיל 2|בגרות חורף 2011]]}}

כאשר יש להוריד ידנית אבר ולבצע פעולה מורכבת יחסית להחסרתו
{{להשלים}}
===חישוב ידני===
==הוכחת אי-שוויון==
{{להשלים}}

=הבעת סכום של סדרה=
*חישוב סכום כאשר מיקום n ידוע ולכן, ניתן להחסיר ידנית את ערך המספים שאין צורך בהם.
{{:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035303/תרגיל 3}}

=מציאת <math>n</math> באמצעות סכום סדרה=
*האיבר הכללי של נוסחא, סכום נוסחא, מיקום אבר - מציאת אבר על-פי סכום 
{{:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035302/תרגיל 4}}

=נוסחאת מציאת סכום סדרה=
=נושאים=
{{להשלים}}
*סכום אינדוקציה - ביטוי (כאשר n לא ידוע) + חישוב
*כאשר יש להוריד אבר/לא להחשיב אותו
*סדרה הנדסית [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035302/תרגיל 3|דוגמא לתרגיל]]
*מציאת n פשוט [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035302/תרגיל 3|דוגמא]] ומורכב [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשע"א/035806/תרגיל 2|דוגמא]]
*הוכחה של אי-שוויון [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשע"א/035006/תרגיל 2|דוגמא]]
*חישוב מכפלת אברים: [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035303/תרגיל 2|דוגמא]]
*הוצאת גורם משותף בסדרה למציאת סכום סדרה שלא ידוע. [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/ה/קיץ ב, תשס"ב/035303/תרגיל 3|דוגמא]]

=דגשים=
בתרגיל בהם נצטרך למצוא את האבר הנמצא במקום ה- <math>n</math> ובמילים אחרות, את <math>a_n</math> , יש חשיבות של נושא הסדרות, בכדי שנוכל לדעת:
#'''באיזו נוסחא להשתמש -''' נוסחא של סדרה חשבונית או הנדסית? האם יש כאן הוספה של מספר קבוע או הככפלה?
#'''האבר הבא -''' בסדרה חשבונית מוסיפים אבר קבוע בעוד שבסדרה הנדסית מכפילים בקבוע. לכן, נוכל לעזר בנתון בכדי לדעת את האבר הבא.

=תרגולים=
[[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/אלגברה/נוסחאות שבהן האיבר הראשון קבוע - אינדוקציה|בני גורן, מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006, עמוד 97 תרגילים 92-99]].

=הערות שולים=
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית - אינדוקציה]]