מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום

הקדמה

בפרק זה נלמד למצוא את הסכום/המכפלה של של סדרה נתונה. ראשית נזכיר שאת נוסחאת הסכום אנו יודעים מראש כיוון שהיא מופיע בתרגיל האינדוקציה, למשל, הסכום של הסדרה: $2+4+6+\cdots +2n=\underset{*}{\underbrace{n(n+1)}}$ .

בכדי לגלות את סכום הסדר נציב את מיקום האבר $n$ שעד אליו אנו רוצים לחשב.

נדגים חישוב לסכום של הסדרה :$2+4+6+\cdots +2n=n(n+1)$

• עד האבר הראשון, נציב $n=1$ בתבנית הסכום (*): $n(n+1)=1(1+1)=2$ .
• עד האבר השלישי, נציב $n=3$ בתבנית הסכום (*): $n(n+1)=3(3+1)=12$ - נוכל לבדוק את הפתרון ידניתתבנית:הערה על-ידי חיבור האברים עד האבר השלישי: $2+4+6=12$ .

נדגים חישוב למכפלה של סדרה, $(1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{n})=n+1$

• עד האבר הראשון, נציב $n=1$ בתבנית הסכום: $n+1=2\to 1+\frac{1}{1}=2$
• עד האבר השלישי, נציב $n=3$ בתבנית הסכום: $n+1=3+1=4\to (1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})=2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=4$ .

הוכחת אי-שוויון, היא פעולה מורכבת יותר, אולם זהה לחלוטין לחישוב של ערך מספרי. בהוכחת אי-שוויון, אנו מציגים דרך חישוב של מספר אברים (באחת מפעולות החשבון), ומוכחים כי הם מקיימים את אי-השוויון הנתון. למשל, נתונה הסדרה $n<{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ .

הוכח כי: $1+2+3+\cdots +n<\left(\frac{3}{2}\right)+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^3+\cdots +{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$

בדרך כלל פירוק הסדרה, מקל על הבנתה ובאמצעות כך, קל יותר להוכיח את אי-השוויון תבנית:הערה

$\begin{array}{cc}& 1+2+3+\cdots +n<\left(\frac{3}{2}\right)+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^3+\cdots +{\left(\frac{3}{2}\right)}^n\\ & 1<\left(\frac{3}{2}\right)\\ & 2<{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\\ & 3<{\left(\frac{3}{2}\right)}^3\\ & ⋮\\ & n<{\left(\frac{3}{2}\right)}^n\\ \end{array}$

זכור שבכדי לחשב סכום עלינו למצוא את מיקום האבר ($n$) .

מצבים

חישוב סכום בתחום מסוים

נזכיר כי עבור מציאת סכום/מכפלה של ססדרה עלינו למצוא את מיקום האבר עד אליו אנו רוצים לגלות את תוצאת הסדרה, למשל , $1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 5+\cdots +n(n+1)(2n+1)=\frac{n(n+1{)}^2(n+2)}{2}$ :

• עד לאבר $n=1$ . נציב בתבנית המכפלה: $\frac{n}{2}(n+1{)}^2(n+2)=\frac{1}{2}(1+1{)}^2(1+2)=6\to 1\cdot 2\cdot 3$
• עד לאבר $n=2$ . נציב בתבנית המכפלה: $\frac{n(n+1{)}^2(n+2)}{2}=\frac{2(2+1{)}^2(2+2)}{2}=36\to 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 5$

פעמים נרצה תחום מסוים של מספרים, בכדי כך יהיה עלינו למצוא שני מיקומים, מיקום של האבר הראשון בחישוב ומיקומו של האבר האחרון בסדרה. נדגים חישוב תחום מסוים של אברים. מציאת מיקום האבר אותו אנו נדרשים לחשב, בדרך-כלל, פעולה פשוטה שניתן לזהות על-ידי העין, לדוגמא, אם נרצה לחשב את הסכום $21\cdot 22+22\cdot 23+\cdots +40\cdot 41$ בסדרה הבאה : $1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ תבנית:הערה. נוכל לראות כי יש למצוא את מיקום המספר $20\cdot 21$ והאיבר $40\cdot 41$ . כל מספר מוכב מ"תתי-אברים" אשר ביניהם יש פעולת כפל. נתבונן באבר הראשון של "תתי-האבר", $20\cdot 21$ , בכדי לגלות את מיקומו ה- $n$-י.

נתבונן על "הנוסחא לאבר במקום ה-nתבנית:כ ($n(n+1)$) ונשווה לגודל האבר שלו אנו רוצים למצוא את מיקומו: $n(n+1)=20\cdot 21$ , אפשר לראות בברור כי $n=20$ . נבצע את אותה פעולה עבור האבר השני, $n(n+1)=40$ ונגלה שמיקומו של האבר הוא $n=40$ תבנית:הערה

עתה משיש לנו את מיקום האברים נוכל למצוא את סכום התחום על-ידי פעולת חיסור בין שני הסכומים: $\begin{array}{cc}& S_{40}=\frac{41(41+1)(41+2)}{3}=24682\\ -\\ & \underset{\_}{S_{20}=\frac{20(20+1)(20+2)}{3}=3080}\\ & S_{21-40}=19880\\ \end{array}$

שימו לב! כאשר לסדרה אשר האברים שלה קשורים זה לזה על-ידי פעולת כפל. בסדרה שכזו אנו נבצע פעולת חילוק בין המכפלות, כמו בבגרות קיץ 2002.

מכמה אברים מורכבת הסדרה?

מדוגמאות לעיל, אנו לקחים שקיימים פעמים בהם האברים מורכבים. בתרגיל ההם, הבחנו בקלות כי מדובר באבר שלו כמה תתי-מספרים, אולם, לא תמיד נוכל לזהות זאת, לדוגמא כאשר מדובר בסדרה הנדסית שכל אבר בה מורכב ממכפלת שני אברים או בסדרה בה האבר מורכב מכפל שני אברים ועוד כפל שני אברים. כאשר מדובר בשיעורי בית, אנו יכולים לתקן את עצמנו בדיעבד, אך, בבגרות, אנו יכולים לבצע חישוב מוטעה או לא להצליח לבצע חישוב, רק בגלל שלא שמנו לב לנושא.

אז מה צריך לעשות בכדי לוודא שלא נתקל במצב בו? יש להשיםם לב לשני מצבים:

1. כאשר מוצגים בתרגיל ארבע מספרים ראשונים (ולא שלושה) רוב הסיכויים שמדובר בסדרה עם תתי-אברים.
2. בדיקה

בשלב הבדיקה אנו מגלים נתון יקר מאוד, מהי הוא האבר עליו אנו מביטים, לדוגמא, אם היינו נגשים לתרגיל:

$2\cdot 4+5\cdot 4^2+8\cdot 4^3+11\cdot 4^4+\cdots +(6n-1)4^{2n}=\frac{(6n-2)\cdot 4^{2n+1}+8}{3}$ .

מבלי לבצע הוכחת אידוקציה, הינו מגלים את עצמנו מתקשים לגלות את מיקומו של האיב שערכו $26\cdot 262,144$ . מדוע זה?תבנית:ש כיון שכל אבר בסדרה מורכב מארבע מספרים שבין כל זוג פעולת חיבור. אם הינו מבצעים בדיקה, הינו מציבים $n=1$ עבור $(6n-1)4^{2n}$ ומגלים שלמעשה, בהצבת מיקום אחד, אנו מגיעים אל המספר השני $(6\cdot 1-1)4^{2\cdot 1}=5\cdot 4^2$ ומכאן נסיק שכל אבר מורכב, מארבע מספרים. סעיף זה, משלים את הנושא שנלמד בפרקים קודמים.

החסרת/הוספת אבר וחישוב עד לתת סעיף

כאשר יש להוריד ידנית אבר ולבצע פעולה מורכבת יחסית להחסרתו תבנית:להשלים

הבעת סכום של סדרה

• חישוב סכום כאשר מיקום n ידוע ולכן, ניתן להחסיר ידנית את ערך המספים שאין צורך בהם.

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים $1^2+2^2+\cdots +(2n{)}^2=\frac{n(2n+1)(4n+1)}{3}$ (ארבע איברים מוצגים *!). הבע באמצעות $n$ את הסכום: $(2\cdot 3{)}^2+(2\cdot 4{)}^2+\cdots +(2\cdot 2n{)}^2$
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L_{eft}:(2*1{)}^2=R_{ight}:\frac{1(2\cdot 1+1)(4\cdot 1+1)}{3}\\ & L_{eft}:(2\cdot 1{)}^2\Rightarrow 1^2+2^2=R_{ight}:5\\ & 5=5\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1^2+2^2+\cdots +(2k{)}^2=\frac{k(2k+1)(4k+1)}{3}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n=k+1$

$\begin{array}{cc}& \underset{\frac{k(2k+1)(4k+1)}{3}}{\underbrace{1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots +(2k{)}^2}}+(2k+1{)}^2+(2k+2{)}^2=\frac{(k+1)(2k+3)(4k+5)}{3}\\ & \frac{k(2k+1)(4k+1)}{3}+(2k+1{)}^2+(2k+2{)}^2=\frac{(k+1)(2k+3)(4k+5)}{3}\\ & k(2k+1)(4k+1)+3(2k+1{)}^2+3(2k+2{)}^2=(k+1)(2k+3)(4k+5)\\ & k(8k^2+6k+1)+3(4k^2+4k+1)+3(4k^2+8k+4)=(2k^2+5k+3)(4k+5)\\ & 8k^3+6k^2+k+12k^2+12k+3+12k^2+24k+12=8k^3+10k^2+20k^2+25k+12k+15\\ & 6k^2+k+12k^2+12k+3+12k^2+24k+12=10k^2+20k^2+25k+12k+15\\ & 30k^2+37k+15=30k^2+37k+15\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

עלינו להביע באמצעות $n$ את הסכום: $(2\cdot 3{)}^2+(2\cdot 4{)}^2+\cdots +(2\cdot 2n{)}^2$ .

כיון שהסדרה "זרה לנו" (אין אנו יודעים לחשב ישירות את הסכום שלה), נקשר אותה (נמצא את ההבדל בין הסדרות/קשר/מה חסר כדי שיהיו דומות) אל הסדרה הראשונה:

$1^2+2^2+\cdots +(2n{)}^2=\frac{n(2n+1)(4n+1)}{3}$

הספרה 2 מפריעה לנו ולכן "נוציא" אותה מהסדרה. מהסדרה החדשה ניתן להוציא את הספרה $2^2$ . מקבלים: $2^2\cdot 3^2+2^2\cdot 4^2+\cdots +2^2(2n{)}^2$. באמצעות גורם משותף, נקבל את הסדרה הראשונה :$2^2[3^2+4^2+\cdots +(2n{)}^2]$ . כלומר עלינו למצוא את הסכום של הסדרה הראשונה (יודעים לחשב) ולכפול בארבע.

הסכום אותו עלינו לגלות: מהאבר $3^2$ ועד האבר $n^2$ . כיון שהמספר לא רחוק, נוכל להחסיר ידנית את $1^2+2^2$ ולחסוך סעיף של חישוב.

סכום הסדרה עד האבר $2n^2$ שווה: $1^2+2^2+\cdots +(2n{)}^2=\frac{n(2n+1)(4n+1)}{3}$ (הוכחנו). נחסיר את האברים המיותרים:

$3^2+4^2+\cdots +(2n{)}^2=\frac{n(2n+1)(4n+1)}{3}-1^2-2^2$

נכפיל בארבע ונקבל את ביטוי הסכום של הסדרה החדשה: $S=4(\frac{n(2n+1)(4n+1)}{3}-1^2-2^2)$

מציאת $n$ באמצעות סכום סדרה

• האיבר הכללי של נוסחא, סכום נוסחא, מיקום אבר - מציאת אבר על-פי סכום

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים $\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{n}{4(n+4)}$ . נתון שסכום $n$ המחוברים הראשונים של הטור שבסעיף א' הוא $\frac{1}{5}$ . חשב את המחובר ה- $n$-י בטור.
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
	[3] [4]

1

90%

#AAAAAA

center

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L_{eft}:\frac{1}{(n+3)(n+4)}=R_{ight}=\frac{n}{4(n+4)}\\ & L_{eft}:\frac{1}{(1+3)(1+4)}=R_{ight}=\frac{1}{4(1+4)}\\ & L_{eft}:\frac{1}{4\cdot 5}=R_{ight}=\frac{1}{4\cdot 5}\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\frac{k}{4(k+4)}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n=k+1$

$\begin{array}{cc}& \underset{\frac{k}{4(k+4)}}{\underbrace{\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{(k+3)(k+4)}}}+\frac{1}{(k+4)(k+5)}=\frac{k+1}{4(k+5)}\\ & \frac{k}{4(k+4)}+\frac{1}{(k+4)(k+5)}=\frac{k+1}{4(k+5)}\\ & k(k+5)+4=(k+1)(k+4)\\ & k^2+5k+4=k^2+5k+4\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

עלינו לגלות את האבר ה- $n$ , שחיבור האברים עד אליו נותן $S_{n-1}=\frac{1}{5}$

ראשית נגלה את מקום האבר על-פי סכום הסדרה:

$\begin{array}{cc}& \frac{n}{4(n+4)}=\frac{1}{5}\\ & 5n=4n+16\\ & n=16\end{array}$

עתה משמצאנו את מיקום האבר נמצא את ערכו באמצעות הנוסחא הכללית של הסדרה:

$\begin{array}{cc}& a_n=\frac{1}{(n+3)(n+4)}\\ & a_{16}=\frac{1}{(16+3)(16+4)}\\ & a_{16}=\frac{1}{18\cdot 20}\\ \end{array}$

נושאים

• סכום אינדוקציה - ביטוי (כאשר n לא ידוע) + חישוב
• כאשר יש להוריד אבר/לא להחשיב אותו
• סדרה הנדסית דוגמא לתרגיל
• מציאת n פשוט דוגמא ומורכב דוגמא
• הוכחה של אי-שוויון דוגמא
• חישוב מכפלת אברים: דוגמא
• הוצאת גורם משותף בסדרה למציאת סכום סדרה שלא ידוע. דוגמא

דגשים

בתרגיל בהם נצטרך למצוא את האבר הנמצא במקום ה- $n$ ובמילים אחרות, את $a_n$ , יש חשיבות של נושא הסדרות, בכדי שנוכל לדעת:

1. באיזו נוסחא להשתמש - נוסחא של סדרה חשבונית או הנדסית? האם יש כאן הוספה של מספר קבוע או הככפלה?
2. האבר הבא - בסדרה חשבונית מוסיפים אבר קבוע בעוד שבסדרה הנדסית מכפילים בקבוע. לכן, נוכל לעזר בנתון בכדי לדעת את האבר הבא.

תרגולים

בני גורן, מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006, עמוד 97 תרגילים 92-99.