הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הצמוד המרוכב והערך המוחלט"

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> ניתן להתאים מספר שנקרא '''הצמוד''' שלו. נסמנו <math>\bar{z}</math> (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: <math>\bar{z}=a-bi</math> . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

מייד מההגדרה נובעות כמה תכונות:
#<math>\bar{\bar{z}}=z</math> . כלומר, הצמוד של הצמוד של <math>z</math> הוא <math>z</math> עצמו.
#<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math> . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.
#<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math> . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.
#<math>z+\bar{z}=2\cdot\mbox{Re}(z)</math> . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.
#<math>z-\bar{z}=2\cdot\mbox{Im}(z)i</math> . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה <math>i</math> כפול החלק המדומה של <math>z</math> .
#מתקיים <math>z=\bar{z}</math> אם ורק אם <math>z</math> הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על-ידי כתיבת המספר <math>z</math> בצורה המפורשת <math>z=a+bi</math> .

==הקשר בין הצמוד המרוכב והערך המוחלט==
הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם <math>z=a+bi</math> אז <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> .

נעמוד כעת על שני קשרים בסיסיים בין הערך המוחלט והצמוד המרוכב:
#<math>|z|=|\bar{z}|</math> . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.
#<math>z\cdot\bar{z}=|z|^2</math> . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השניה מתקיימת, נשים לב כי <math>z\cdot\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=\big(\sqrt{a^2+b^2}\big)^2</math> .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה <math>\frac1{z}</math> . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

*אם <math>z\ne 0</math> אז <math>\frac1{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}</math> .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר <math>\frac1{z}</math> בצמוד של <math>z</math> , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה <math>z\ne 0</math> היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי <math>\frac10</math> והוא נותר לרוב בלתי-מוגדר.

==תכונות של הערך המוחלט==
כעת נשים לב למספר תכונות יסודיות של הערך המוחלט:
#<math>|z|\ge 0</math> ומתקיים <math>|z|=0</math> אם ורק אם <math>z=0</math> .
#<math>\Big|z_1\cdot z_2\Big|=|z_1|\cdot|z_2|</math> .
#<math>\Big|z_1+z_2\Big|\le|z_1|+|z_2|</math> .
#<math>|-z|=|z|</math> .

נשים לב במיוחד לתכונה מספר 3. תכונה זו מכונה '''אי-שוויון המשולש''', וקיימים לה שימושים רבים. בפרק העוסק במישור המרוכב יוסבר מדוע תכונה זו נקראת כך.

{{תוכן
|הפרק הבא=[[../הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות/]]
|הפרק הנוכחי=הצמוד המרוכב והערך המוחלט
|תרגילים=[[/תרגילים/]]
|הפרק הקודם=[[../חשבון במספרים מרוכבים/]]
}}

[[קטגוריה:אלגברה תיכונית - מרוכבים|3]]