מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הצמוד המרוכב והערך המוחלט

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב $z=a+bi$ ניתן להתאים מספר שנקרא הצמוד שלו. נסמנו $\overline{z}$ (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: $\overline{z}=a-bi$ . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

מייד מההגדרה נובעות כמה תכונות:

1. $\overline{\overline{z}}=z$ . כלומר, הצמוד של הצמוד של $z$ הוא $z$ עצמו.
2. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.
3. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$ . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.
4. $z+\overline{z}=2\cdot \text{Re}(z)$ . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.
5. $z-\overline{z}=2\cdot \text{Im}(z)i$ . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה $i$ כפול החלק המדומה של $z$ .
6. מתקיים $z=\overline{z}$ אם ורק אם $z$ הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על-ידי כתיבת המספר $z$ בצורה המפורשת $z=a+bi$ .

הקשר בין הצמוד המרוכב והערך המוחלט

הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם $z=a+bi$ אז $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

נעמוד כעת על שני קשרים בסיסיים בין הערך המוחלט והצמוד המרוכב:

1. $|z|=|\overline{z}|$ . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.
2. $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$ . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השניה מתקיימת, נשים לב כי $z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2}{)}^2$ .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה $\frac{1}{z}$ . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

• אם $z\ne 0$ אז $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$ .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר $\frac{1}{z}$ בצמוד של $z$ , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה $z\ne 0$ היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי $\frac{1}{0}$ והוא נותר לרוב בלתי-מוגדר.

תכונות של הערך המוחלט

כעת נשים לב למספר תכונות יסודיות של הערך המוחלט:

1. $|z|\ge 0$ ומתקיים $|z|=0$ אם ורק אם $z=0$ .
2. $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ .
3. $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ .
4. $|-z|=|z|$ .

נשים לב במיוחד לתכונה מספר 3. תכונה זו מכונה אי-שוויון המשולש, וקיימים לה שימושים רבים. בפרק העוסק במישור המרוכב יוסבר מדוע תכונה זו נקראת כך.