הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/מיתר וקוטר באליפסה"

'''קוטר - ''' מיתר העובר דרך מרכז האליפסה.

'''מיתר - '''קטע המחבר שתי נקודות על האליפסה.

'''מכפלת שיפוע המיתר''' באליפסה <math>b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2</math> '''עם הקוטר שחוצה אותו''' היא <math>m_1\cdot m_2=-\frac{b^2}{a^2}</math>
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=מציאת משוואת המיתר|
תוכן='''מצא את משוואת המיתר הנחתך עם האליפסה <math>\frac{x^2}{15^2}+\frac{y^2}{10^2}=1</math> שהנקודה <math>(2,2)</math> היא אמצעו.'''

שיפוע הקוטר העובר דרך הנקודה <math>(2,2)</math> וראשית הצירים הוא <math>m_=\frac{2-0}{2-0}=1</math> .

נמצא את ערכי <math>a^2,b^2</math> בכדי להציב בנוסחה לעיל: <math>a^2=225</math> ו- <math>b^2=100</math>

נציב במשוואת מכפלת שיפוע המיתר: <math>1\cdot m_2=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{100}{225}=-\frac{5}{9}</math>

נמצא את משוואת המיתר העובר באמצעות נקודה ושיפוע ונקבל: <math>y-2=-\frac{5}{9}(x-2)</math>

משוואת המיתר <math>y=-\frac{5}{9}x+3\frac{1}{9}</math>
}}

===הוכחת מכפלת שיפוע מיתר===
נסמן את נקודות החיתוך של המיתר עם האליפסה  <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> בנקודות <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math> .

נמצא את נקודת האמצע של המיתר, דרכו הקוטר עובר, באמצעות [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיעורי אמצע של קטע|שיעורי אמצע של קטע]]: <math>\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)</math> .

נמצא את שיפוע המיתר על-פי [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיפוע/מציאת שיפוע באמצעות שתי נקודות|משוואת השיפוע]]: <math>m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> .

נמצא את שיפוע הקוטר עובר דרך ראשית הצירים (הגדרת הקוטר) ונקודת אמצע המיתר:
:<math>m_2=\frac{\dfrac{y_1+y_2}{2}-0}{\dfrac{x_1+x_2}{2}-0}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}</math> .

נמצא את מכפלת השיפועים ונקבל:
:<math>m_1\cdot m_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=\frac{(y_2)^2-(y_1)^2}{(x_2)^2-(x_1)^2}</math>

מאחר ונקודות החיתוך של המיתר נמצאות על האליפסה, נוכל למצוא את ערך ה- <math>y</math> שלהן:
:<math>(y_1)^2=\frac{b^2}{a^2}\big[a^2-(x_1)^2\big]</math>
:<math>(y_2)^2=\frac{b^2}{a^2}\big[a^2-(x_2)^2\big]</math>
נציב את הערכים במכפלת השיפועים ונקבל: 
:<math>
m_1\cdot m_2=\frac{\dfrac{b^2}{a^2}\big[a^2-(x_1)^2\big]-\dfrac{b^2}{a^2}\big[a^2-(x_2)^2\big]}{(x_2)^2-(x_1)^2}=\dfrac{b^2}{a^2}\cdot\dfrac{a^2-(x_2)^2-a^2+(x_1)^2}{(x_2)^2-(x_1)^2}=-\frac{b^2}{a^2}
</math>