הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/הסתברות/חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים"

{{מתמטיקה תיכונית/הסתברות}}
==ההסתברות של אירוע משלים <math>\bar{A}</math>==
[[תמונה:Probability venn not.svg|thumb|center|המאורע המשלים ל-A צבוע בירוק]]
<br>
נחשב את
<div style="text-align: right;">
<div style="direction: ltr;"><math>P(\bar{A})=</math></div>

<math>A U \bar{A} = \Omega</math>

ומכאן <math>P(A U \bar{A}) = 1</math>

<math>A \cap \bar{A} = \phi</math>

ומכאן <math>P(A \cap \bar{A}) = 0</math>

<math>P(\bar{A}) = P(\Omega - A - A \cap \bar{A})= P(\Omega - A - \phi) = P(\Omega - A) = 1 - P(A)</math>



==ההסתברות של אחד משני מאורעות (יחס או) <math>A\cup B</math>==
[[תמונה:Probability venn a b union.svg|thumb|left|האיחוד של A ו-B הוא כל מה שב-A '''ו/או''' ב-B]]
[[תמונה:Probability venn a b intersection.svg|thumb|left|החיתוך הוא החלק המשותף ל-A '''וגם''' ל-B.]]
עלינו לחשב את <math>|A\cup B|</math>{{הערה| הדוגמה כאן מתאימה להתפלגות אחידה. זהו מקרי פרטי. במקרי הכללי אנו סוכמים את ההסתברות לכל אירוע.}} כדי לחשב את <math>P(A\cup B)</math> . באיורים ניתן לראות ש- <math>A\cup B</math> מכיל את התוצאות שהן רק של A, את התוצאות שהן רק של B ואת התוצאות המשותפות. אם נביט באיור התחתון נראה שהתוצאות המשותפות הן בעצם <math>A\cap B</math> . (החיתוך הוא החלק המשותף). לכן <math>|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|</math> .

מספר התוצאות באיחוד (<math>|A\cup B|</math>) שווה למספר התוצאות ב-A ועוד מספר התוצאות ב-B פחות מספר התוצאות בחיתוך (<math>|A\cap B|</math>) מכיון שאת החיתוך אנחנו סופרים פעמיים.

נדגים זאת:
:מאורע A הוא {1,2,3,4}, |A| הוא 4.
:מאורע B הוא {3,4,5}, |B| הוא 3.
:<math>A\cap B</math> הוא {3,4}, <math>|A\cap B|</math> הוא 2.
בדוגמא, <math>|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=4+3-2=5</math> . ההגיון ברור - אנחנו סופרים פעמיים את החיתוך {3,4} פעם אחת ב-A ופעם אחת ב-B. למרות שבאיחוד, התוצאות {3,4} מופיעות פעם אחת בלבד. לכן צריך לחסר אותו מסכום הגדלים של שני המאורעות.

את ההסתברות עצמה, לאחר שמצאנו את גודל המאורע נחשב בדיוק כמו בסעיף הקודם.
<math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math>

==ההסתברות של חיסור מאורעות <math>A-B</math>==
[[תמונה:Probability venn a minus b.svg|thumb|left|<math>A-B</math> הוא כל מה שב-A ו'''לא''' ב-B.]]
[[תמונה:Probability venn a b intersection.svg|thumb|left|החיתוך הוא החלק המשותף ל-A '''וגם''' ל-B.]]
<math>P(A-B) = P(A)-P(A\cap B)</math>

==ראו גם==
# [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%97%D7%AA_%D7%94%D7%94%D7%A1%D7%AA%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%94 נוסחת ההסתברות השלמה בויקיפדיה]
# [[הסתברות/מבוא/נוסחת ההסתברות השלמה | נוסחת ההסתברות השלמה בספר ההסתברות]]
[[קטגוריה:הסתברות (מתמטיקה תיכונית)]]