מתמטיקה תיכונית/הסתברות/חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים

ההסתברות של אירוע משלים $\overline{A}$

קובץ:Probability venn not.svg

המאורע המשלים ל-A צבוע בירוק

נחשב את

$P(\overline{A})=$

$AU\overline{A}=\mathrm{\Omega }$

ומכאן $P(AU\overline{A})=1$

$A\cap \overline{A}=\varphi$

ומכאן $P(A\cap \overline{A})=0$

$P(\overline{A})=P(\mathrm{\Omega }-A-A\cap \overline{A})=P(\mathrm{\Omega }-A-\varphi )=P(\mathrm{\Omega }-A)=1-P(A)$

ההסתברות של אחד משני מאורעות (יחס או) $A\cup B$

האיחוד של A ו-B הוא כל מה שב-A ו/או ב-B

החיתוך הוא החלק המשותף ל-A וגם ל-B.

עלינו לחשב את $|A\cup B|$תבנית:הערה כדי לחשב את $P(A\cup B)$ . באיורים ניתן לראות ש- $A\cup B$ מכיל את התוצאות שהן רק של A, את התוצאות שהן רק של B ואת התוצאות המשותפות. אם נביט באיור התחתון נראה שהתוצאות המשותפות הן בעצם $A\cap B$ . (החיתוך הוא החלק המשותף). לכן $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .

מספר התוצאות באיחוד ($|A\cup B|$) שווה למספר התוצאות ב-A ועוד מספר התוצאות ב-B פחות מספר התוצאות בחיתוך ($|A\cap B|$) מכיון שאת החיתוך אנחנו סופרים פעמיים.

נדגים זאת:

מאורע A הוא {1,2,3,4}, |A| הוא 4.

מאורע B הוא {3,4,5}, |B| הוא 3.

$A\cap B$ הוא {3,4}, $|A\cap B|$ הוא 2.

בדוגמא, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=4+3-2=5$ . ההגיון ברור - אנחנו סופרים פעמיים את החיתוך {3,4} פעם אחת ב-A ופעם אחת ב-B. למרות שבאיחוד, התוצאות {3,4} מופיעות פעם אחת בלבד. לכן צריך לחסר אותו מסכום הגדלים של שני המאורעות.

את ההסתברות עצמה, לאחר שמצאנו את גודל המאורע נחשב בדיוק כמו בסעיף הקודם. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

ההסתברות של חיסור מאורעות $A-B$

$A-B$ הוא כל מה שב-A ולא ב-B.

החיתוך הוא החלק המשותף ל-A וגם ל-B.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

ראו גם

1. נוסחת ההסתברות השלמה בויקיפדיה
2. נוסחת ההסתברות השלמה בספר ההסתברות