הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/חישוב שטח בין פונקציה לציר ה-x"

=חישוב שטח בין פונקציה לציר ה- <math>x</math>=
[[קובץ:Integral as region under curve.png|מרכז|ממוזער|250px|<math>S=\Bigg|\int\limits_a^b f(x)dx\Bigg|</math> הצבת התחום להוכחה והסבר [[מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/הוכחת והסבר לנוסחא|לחץ כאן]]]]

==מה אנחנו צריכים בשביל להשתמש בנוסחא?==
תחום מסוים אותו נמצא על-פי: [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/מצבים הדדיים מיוחדים בין ישרים|נקודות חיתוך בין פונקציות]], [[נקודות חיתוך עם צירים]], [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] ועוד.

==השטח יכול להימצא מעל/מתחת לציר ה- <math>x</math>==
חשוב לזהות את השטח של פונקציות שונות בכדי להפנים ש'''השטח''' יכול להימצא גם '''מעל''' וגם '''מתחת לצירים'''. כפי שניתן לראות בתמונות.{{ש}}
<center>'''חשוב לשים לב, שלכל פונקציה הנמצאת מעל ומתחת לציר ה-<math>\ x</math>, <br /> יש  שטחים הנמצאים מעל ומתחת לצירים!'''</center>.

לנתון זה תהיה חשיבות רבה, כאשר נרצה לחשב [[מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/שטח הכלוא בין שתי פונקציות|שטח הכלוא בין שתי פונקציות]] וציר ה- <math>x</math>.

<gallery>
קובץ:Funktion.Flaechenvariation.png|'''השטח מעל''' ו'''מתחת לצירים'''
קובץ:Integral x^2-10.svg|גם מעל לציר וגם מתחת לציר יש שטח כלוא!
</gallery>

אופן החישוב יתבצע באותו אופן. אין הבדל באופן החישוב כאשר הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה- <math>x</math> כיון שהחישוב מתבצע ב'''[[w:ערך מוחלט|ערך מוחלט]]'''. '''ההבדל''' בין שטח הנמצא מעל ומתחת לציר ה- <math>x</math> יבוא לידי ביטוי, כאשר נחשב שטח, הנמצא מעל ומתחת לציר ה-<math>x</math> '''בחישוב יחיד'''. מול חישוב השטחים '''בשני חישובים נפרדים'''. הסיבה נעוצה בכך שבחישוב יחיד, '''קטן''' גודל השטח עקב הסימנים השונים, פלוס ומינוס. ואילו בשני חישובים, ה[[סימנים הנגדיים]] משתנים לסימן יחיד, פלוס עקב שימוש ב"ערך מוחלט".{{ש}}
נחשב את השטח הנמצא בין הפונקציה <math>f(x)= x^2-10</math> מעל לציר ה- <math>x</math> בתחום <math>-5<x<5</math> (חישוב יחיד):

{| class="wikitable"
|
<math>
\begin{align}&\int\limits_{-5}^5 (x^2-10)dx = \frac{x^3}{3}-10x+C\\
&\bigg[\frac{(-5)^3}{3}-10\cdot (-5)\bigg]-\bigg[\frac{5^3}{3}-10\cdot 5\bigg]\\
&\bigg[\frac{-125}{3}+50\bigg]-\bigg[\frac{125}{3}-50\bigg]\\
&-\frac{125}{3}+50-\frac{125}{3}+50\\
&S=100-\frac{250}{3}\\
\end{align}</math>
|}

נחשב את השטח הנמצא בין הפונקציה <math>f(x)= x^2-10</math> מתחת לציר ה- <math>x</math> בתחום <math>-5<x<0</math> ובתחום <math>0<x<5</math> (שני חישובים). החישובים מתבצעים בנפרד בכדי לא לבטל את התוצאות:

{| class="wikitable"
|-
|<math>
\begin{align}&{\color{blue}\int\limits_{-5}^0 (x^2-10)dx} = \frac{x^3}{3}-10x+C\\
&\bigg[\frac{(-5)^3}{3}-10\cdot (-5)\bigg]-\bigg[\frac{0^3}{3}-10\cdot 0\bigg]\\
&\bigg[-\frac{125}{3}+50\bigg]-0\\
&\color{blue}-\frac{125}{3}+50\\
\end{align}
</math>
|<math>\begin{align}
&{\color{green}\int\limits_0^5 (x^2-10)dx} = \frac{x^3}{3}-10x+C\\
&\bigg[\frac{0^3}{3}-10\cdot 0\bigg]-\bigg[\frac{5^3}{3}-10\cdot 5\bigg]\\
&0-\bigg[\frac{125}{3}+50\bigg]\\
&-\frac{125}{3}-50\\
&\color{green}\frac{125}{3}+50\\
\end{align}</math>
|-
|colspan=2|
<math>\begin{align}&S=-\frac{125}{3}+50+\frac{125}{3}+50\\&S=100\\\end{align}</math>
|}

===תרגול===
זהה את השטח שבין הפונקציה לבין ציר ה- <math>x</math>.
<gallery>
קובץ:Arccotgh.png|סמן את השטח הכלוא בין ציר ה- <math>x</math> לפונקציה
קובץ:Parabola2.svg|סמן את השטח ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הצגה גרפית של פונקציה|רביע הראשון]]
</gallery>

{| class="toccolours collapsible" width="250"
! bgcolor="pink" | פתרונות
|-
|1. [[תמונה:VpCauchy 1-x^3.jpg]]
|-
|2. [[תמונה:Area-under-curve-for-x-squared.svg]]
|}

==דוגמא==
מצא את השטח <math>S</math> הכלוא בין ציר ה- <math>x</math>, הפונקציה <math>\frac1{\sqrt[3]{x^2}}</math> והישרים <math>x=-1,x=1</math>.

{{מוסתר|פתרון|
[[קובץ:Integral-cube root of x squared.png|שמאל|ממוזער|250px|]]
נבצע אינטגרציה לפונקציה <math>\frac1{\sqrt[3]{x^2}}</math> ונקבל:

<math>S = \int\limits_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \int\limits_{-1}^1 x^{-\frac2{3}}\cdot dx = \frac{x^{-\frac2{3}+1}}{-\frac2{3}+1}\Bigg|_{-1}^1 = \frac{x^\frac1{3}}{\frac1{3}}\Bigg|_{-1}^1 = 3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{-1}^1</math>

נציב את התחום:

<math>S=3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{-1}^1=3\sqrt[3]1-3\sqrt[3]{-1}=3-(-3)</math>{{ש}}
<math>S=6</math>
}}

[[קטגוריה:חשבון אינטגרלי לתיכון]]