מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/חישוב שטח בין פונקציה לציר ה-x

חישוב שטח בין פונקציה לציר ה- $x$

$S=|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|$ הצבת התחום להוכחה והסבר לחץ כאן

מה אנחנו צריכים בשביל להשתמש בנוסחא?

תחום מסוים אותו נמצא על-פי: נקודות חיתוך בין פונקציות, נקודות חיתוך עם צירים, נקודות קיצון ועוד.

השטח יכול להימצא מעל/מתחת לציר ה- $x$

חשוב לזהות את השטח של פונקציות שונות בכדי להפנים שהשטח יכול להימצא גם מעל וגם מתחת לצירים. כפי שניתן לראות בתמונות.תבנית:ש

חשוב לשים לב, שלכל פונקציה הנמצאת מעל ומתחת לציר ה-$x$,
יש שטחים הנמצאים מעל ומתחת לצירים!

.

לנתון זה תהיה חשיבות רבה, כאשר נרצה לחשב שטח הכלוא בין שתי פונקציות וציר ה- $x$.

• 
  השטח מעל ומתחת לצירים
• 
  גם מעל לציר וגם מתחת לציר יש שטח כלוא!

אופן החישוב יתבצע באותו אופן. אין הבדל באופן החישוב כאשר הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה- $x$ כיון שהחישוב מתבצע בערך מוחלט. ההבדל בין שטח הנמצא מעל ומתחת לציר ה- $x$ יבוא לידי ביטוי, כאשר נחשב שטח, הנמצא מעל ומתחת לציר ה-$x$ בחישוב יחיד. מול חישוב השטחים בשני חישובים נפרדים. הסיבה נעוצה בכך שבחישוב יחיד, קטן גודל השטח עקב הסימנים השונים, פלוס ומינוס. ואילו בשני חישובים, הסימנים הנגדיים משתנים לסימן יחיד, פלוס עקב שימוש ב"ערך מוחלט".תבנית:ש נחשב את השטח הנמצא בין הפונקציה $f(x)=x^2-10$ מעל לציר ה- $x$ בתחום $-5<x<5$ (חישוב יחיד):

$\begin{array}{cc}& \underset{-5}{\overset{5}{\int }}(x^2-10)dx=\frac{x^3}{3}-10x+C\\ & [\frac{(-5{)}^3}{3}-10\cdot (-5)]-[\frac{5^3}{3}-10\cdot 5]\\ & [\frac{-125}{3}+50]-[\frac{125}{3}-50]\\ & -\frac{125}{3}+50-\frac{125}{3}+50\\ & S=100-\frac{250}{3}\\ \end{array}$

נחשב את השטח הנמצא בין הפונקציה $f(x)=x^2-10$ מתחת לציר ה- $x$ בתחום $-5<x<0$ ובתחום $0<x<5$ (שני חישובים). החישובים מתבצעים בנפרד בכדי לא לבטל את התוצאות:

$\begin{array}{cc}& \underset{-5}{\overset{0}{\int }}(x^2-10)dx=\frac{x^3}{3}-10x+C\\ & [\frac{(-5{)}^3}{3}-10\cdot (-5)]-[\frac{0^3}{3}-10\cdot 0]\\ & [-\frac{125}{3}+50]-0\\ & -\frac{125}{3}+50\\ \end{array}$	$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{5}{\int }}(x^2-10)dx=\frac{x^3}{3}-10x+C\\ & [\frac{0^3}{3}-10\cdot 0]-[\frac{5^3}{3}-10\cdot 5]\\ & 0-[\frac{125}{3}+50]\\ & -\frac{125}{3}-50\\ & \frac{125}{3}+50\\ \end{array}$
$\begin{array}{cc}& S=-\frac{125}{3}+50+\frac{125}{3}+50\\ & S=100\\ \end{array}$

תרגול

זהה את השטח שבין הפונקציה לבין ציר ה- $x$.

• 
  סמן את השטח הכלוא בין ציר ה- $x$ לפונקציה
• 
  סמן את השטח ברביע הראשון

פתרונות
1.
2.

דוגמא

מצא את השטח $S$ הכלוא בין ציר ה- $x$, הפונקציה $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ והישרים $x=-1,x=1$.