הצגת המקור של הדף "פונקציות מרוכבות/מספרים מרוכבים - חזרה"

{{פונקציות מרוכבות}}
בסעיף זה נחזור בקצרה על חלק מההגדרות הבסיסיות של המספרים המרוכבים והתכונות שלהם. נזכיר שהמספרים המרוכבים מתקבלים מהוספה לממשיים סימן נוסף <math>i</math> הפותר את המשוואה <math>i^2=-1</math> .

קבוצת המספרים המרוכבים מוגדרת:
:<math display=block>\Complex=\{a+bi:a,b\in\R\}</math>

===חלק ממשי ומדומה===
אם <math>z=a+bi</math> מספר מרוכב, נקרא ל־<math>a</math> החלק '''הממשי''' של <math>z</math> ול־<math>b</math> החלק '''המדומה''' של <math>z</math> . בסימונים מתמטיים נסמן זאת כך:
:<math display=block>\begin{align}\text{Re}(z)=a\\\text{Im}(z)=b\end{align}</math>
לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> אפשר להתאים את '''המספר הצמוד לו'''
:<math display=block>\bar z=a-bi</math>
נשים לב שמתקיימות הזהויות הבאות:
:<math display=block>\begin{align}\text{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2}\\\text{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}\end{align}</math>

===המישור המרוכב===
אפשר לזהות בין נקודות ב־<math>\R^2</math> לבין <math>\Complex</math> על־ידי זיהוי <math>a+bi</math> עם הזוג הסדור <math>(a,b)</math> . נשים לב שההתאמה הנ"ל היא חח"ע ועל. המישור נקרא בהקשר זה '''המישור המרוכב''', או '''המישור של גאוס'''.

===חיבור וכפל של מספרים מרוכבים===
ישנן שתי גישות להגדרת הכפל והחיבור במספרים המרוכבים. הדרך הראשונה היא להתייחס ל־<math>\Complex</math> כקבוצת זוגות סדורים, ולהגדיר את הפעולות הבאות:
:<math display=block>\begin{matrix}(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)\\\\(a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1)\end{matrix}</math>
הקבוצה והפעולות יחדיו מגדירות שדה.

דרך נוספת להגדיר את הפעולות הבינאריות על המספרים המרוכבים היא להגדיר את קבוצת המספרים המרוכבים בתור <math>\Complex=\{a+bi:a,b\in\R\}</math> כפי שהוגדרה בתחילת הפרק. ואז, בשימוש באלגברה של מספרים ממשיים:
:<math display=block>\begin{matrix}(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\\\\(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2i^2=a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2(-1)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i\end{matrix}</math>
ניתן לראות כי ההגדרות שקולות לחלוטין.

היתרון בהגדרת <math>\Complex</math> כשדה, הוא שמתקיים בה המשפט היסודי של האלגברה: לכל פולינום ממעלה <math>n</math> במרוכבים יש '''בדיוק''' <math>n</math> שורשים. גרסתו של משפט זה במספרים הממשיים מבטיחה '''לכל היותר''' <math>n</math> שורשים.

===ערך מוחלט וארגומנט של מספר מרוכב===
[[קובץ:Complex_number_illustration_modarg.svg|ממוזער|]]
בהינתן מספר מרוכב <math>z=x+yi</math>, '''הערך המוחלט''' שלו מוגדר <math>|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{x^2+y^2}</math>. על פי משפט פיתגורס, הערך המוחלט מייצג את המרחק מהאפס, כלומר אם נראה את המספר כנקודה במישור המרוכב, אז הערך המוחלט הוא המרחק מראשית הצירים. הארגומנט המסומן <math>\arg z</math> מוגדר כזווית (ברדיאנים) שהקטע המחבר את z ל0 יוצר עם הכיוון החיובי של ציר הx (ראו איור). אם המספר נמצא ברביע הראשון של המישור, הארגומנט יהיה בין 0 ל<math>\frac\pi2</math>. ברביע השני, הארגומנט יהיה בין <math>\frac\pi2</math> ל<math>\pi</math>. ברביע השלישי והרביעי הארגומנט שלילי בין <math>-\pi</math> ל0. מעט טריגונומטריה תלמד כי מתקיים <math>\tan\arg z=\frac yx</math> כאשר <math>x\ne0</math>. למרות זאת לא מתקיים <math>\arg z=\arctan\frac yx</math>, שכן פונקציית ארכטנגנס מחזירה תמיד ערכים בין <math>-\frac\pi2</math> ל<math>\frac\pi2</math>, בניגוד לכך שארגומנט ברביע השלישי הוא בתחום <math>(\frac\pi2,\pi)</math>. לכן פונקצית הארגומנט מוגדרת על פי הנוסחה <math>\ \arg  z = = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}</math>
אם ידועים הערך המוחלט <math>r</math> והארגומנט <math>\theta</math> של מספר מרוכב, מתקיים <math>x=r\cos\theta\ ,\ y=r\sin\theta</math>, כלומר <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math>. הביטוי <math>\cos\theta+i\sin\theta</math> מסומן בקיצור <math>\operatorname{cis}\theta</math>.

אם כן, כל מספר מרוכב <math>z\ne0</math> ניתן להצגה בצורה <math>z=r\operatorname{cis}\theta</math>. נשים לב כי הצגה זו אינה יחידה: מהמחזוריות של הפונקציות הטריגונומטריות נקבל <math>\operatorname{cis}(\theta+2k\pi)=\operatorname{cis}\theta</math> לכל <math>k\in\Z</math>. נעדיף תמיד את ההצגה שבה <math>-\pi<\theta\le\pi</math>.

הצגת מספרים מרוכבים באמצעות ערך מוחלט וארגומנט מקילה על חישובים של כפל וחילוק מספרים מרוכבים: נשים לב כי מתקיים <math>\operatorname{cis}\theta_1\cdot\operatorname{cis}\theta_2=(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_2\cos\theta_1-\sin\theta_1\sin\theta_2=(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_2\cos\theta_1)</math>. מזהויות טריגונומטריות נקבל <math>\operatorname{cis}\theta_1\cdot\operatorname{cis}\theta_2=\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)=\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)</math>. לכן כפל מספרים מרוכבים יכול להיעשות באמצעות <math>(r_1\operatorname{cis}\theta_1)\cdot(r_2\operatorname{cis}\theta_2)=r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)</math>. באינדוקציה ניתן לקבל את '''נוסחת דה-מואבר''': <math>(r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}n\theta</math>. חילוק ניתן לבצע על פי ההבחנה כי <math>\operatorname{cis}(-\theta)\cdot\operatorname{cis}\theta=\operatorname{cis}0=1</math>, לכן <math>\frac1{r\operatorname{cis}\theta}=r^{-1}\operatorname{cis}(-\theta)</math>, וחילוק הופך להיות <math>\frac{r_1\operatorname{cis}\theta_1}{r_2\operatorname{cis}\theta_2}=r_1\operatorname{cis}\theta_1\cdot(r_2\operatorname{cis}\theta_2)^{-1}=r_1r_2^{-1}\operatorname{cis}\theta_1\operatorname{cis}(-\theta_2)=\frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)</math>.
===פתרון משוואות מרוכבות===
המשוואה <math>a+bi=c+di</math> מבטיחה את השוויונות <math>a=c\ ,\ b=d</math>. נראה זאת: נניח בשלילה <math>b\ne d</math>. אז מתקיים <math>bi-di=c-a</math>, כלומר <math>i=\frac{c-a}{b-d}</math> (החלוקה ב<math>b-d</math> מותרת כי הנחנו <math>b\ne d</math> ולכן <math>b-d\ne0</math>), ומסגירות הממשיים לפעולות החיסור והחילוק נקבל <math>i\in\R</math>. סתירה. לכן <math>b\ne d</math>, כלומר <math>a+bi=c+bi</math>, ולכן <math>a=c</math>.

אם כן, פתרון משוואה מרוכבת הופך להיות משימה של פתרון מערכת משוואות ממשיות בשני נעלמים. למשל, ננסה למצוא שורש ל<math>i</math>, כלומר נכתוב <math>z^2=i</math>. אם נסמן <math>z=x+yi</math> נקבל <math>(x+yi)^2=i</math>, ולכן <math>x^2+2xyi-y^2=i</math>. נארגן את האגפים ונקבל <math>(x^2-y^2)+2xyi=0+i</math>. נשווה את החלקים הממשיים והמדומים ונקבל <math>(1)\ x^2-y^2=0\ ,(2)\ 2xy=1</math>. ממשואה <math>(2)</math> נקבל <math>y=\frac1{2x}</math>, ומהצבה במשוואה <math>(1)</math> נקבל <math>x^2=\left(\frac1{2x}\right)^2</math>, כלומר <math>x^4=\frac14</math>, ולכן <math>x^2=\pm\frac12</math>. נשים לב ש<math>x</math> צריך להיות ממשי, לכן לא יתכן <math>x^2=-\frac12</math>, לכן <math>x^2=\frac12</math>, כלומר <math>x=\pm\frac1\sqrt2</math>. נחזיר להציב במשוואה <math>(2)</math> ונקבל <math>y=\pm\frac1\sqrt2</math>, לכן <math>z=\pm\left(\frac1\sqrt2+\frac1\sqrt2i\right)=\pm\frac{1+i}\sqrt2</math>, כלומר <math>\sqrt i=\frac{1+i}\sqrt2</math>.

אם המשוואה נתונה בהצגה של ערך מוחלט וארגומנט, כלומר <math>r_1\operatorname{cis}\theta_1=r_2\operatorname{cis}\theta_2</math>, אז מכך ש<math>r_1,r_2</math> הם הערך המוחלט של אותו מספר מרוכב, נקבל <math>r_1=r_2</math>. לכן <math>\cos\theta_1+i\sin\theta_1=\cos\theta_2+i\sin\theta_2</math>. לכן <math>\cos\theta_1=\cos\theta_2</math>, כלומר <math>\theta_1=\pm\theta_2+2k\pi</math>, וכן <math>\sin\theta_1=\sin\theta_2</math>, לכן <math>\theta_1\in\{\theta_2+2k\pi,\pi-\theta_2+2k\pi\}</math>. משני השוויונות נקבל <math>\theta_1=\theta_2+2k\pi</math>.
===שורשי היחידה===
בהינתן מספר טבעי <math>n\in\N</math>, נמצא את פתרונות המשוואה <math>z^n=1</math>. נרשום לשם כך <math>z=r\operatorname{cis}\theta</math>. באמצעות נוסחת דה-מואבר נקבל <math>r^n\operatorname{cis}n\theta=1\operatorname{cis}0</math>. לכן <math>r^n=1</math>, כלומר <math>r=1</math> (על פי הגדרת הערך המוחלט הוא תמיד מספר ממשי חיובי), וכן <math>n\theta=0+2k\pi=2k\pi</math> עבור <math>k\in\Z</math> כלשהו. לכן <math>\theta=\frac{2k\pi}{n}</math>. נשים לב שאם <math>0\le k<n</math> ולכל <math>m\in\Z</math> מתקיים <math>\operatorname{cis}\left(\frac{2(k+mn)\pi}{n}\right)=\operatorname{cis}\left(\frac{2k\pi}n+2m\pi\right)=\operatorname{cis}\left(\frac{2k\pi}n\right)</math>, לכן מספיק לבחור <math>m\in\Z</math> אחד כדי לייצג כל פתרון. בחירה טבעית היא <math>m=0</math>, ולכן הצגת הפתרונות תיעשה בצורה <math>z=\operatorname{cis}\left(\frac{2k\pi}n\right)\ \ \ \ \ \ (0\le k<n)</math> (שימו לב שכל פתרון אחר שווה ערך לאחד מהפתרונות האלו).                             
===מציאת שורשים למספרים מרוכבים===


{{פונקציות מרוכבות|מוגבל}}
[[קטגוריה:מתמטיקה]]