הצגת המקור של הדף "פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 5"

==חבורת גלים==
===הקדמה אלגברית===
ניזכר באלגברה לינארית: כל אבר ב[[פיזיקה קוונטית/חזרה כללית בנושא אלגברה#מרחב וקטורי|מרחב וקטורי]] ניתן לייצוג על ידי [[פיזיקה קוונטית/חזרה כללית בנושא אלגברה#צירוף לינארי|צירוף לינארי]] של איברי בסיס של המרחב. נניח שאיברי הבסיס עמו אנו עובדים הם <math>\{v_i\}_{i=1}^N </math> , הרי שצירוף לינארי שלהם ייראה כך: <math>\sum_{i=1}^N \alpha_iv_i</math> , כאשר <math>\{\alpha_i\}_{i=1}^N</math> סקלרים.

כאשר יש לנו מרחב מממד N) N סופי או אינסופי, אבל בר-מניה), נוכל לכתוב את הצירוף הלינארי כסכום כלשהו, למשל: <math>\sum_{n\in N} \alpha_nv_n</math> . אבל, מה קורה כאשר המימד של המרחב הוא רצף? כיצד נכתוב צירוף לינארי במקרה הזה?

נניח שיש לנו בסיס בממד רצף, כלומר אברי הבסיס הם <math>\{v(p,x)\}</math> כאשר <math>p</math> שייך לאינטרוול כלשהו <math>I</math> (שיכול להיות גם כל הישר). שימו לב, שכאן לא מדובר בתלות ב- <math>p</math> אלא האות <math>p</math> מבטאת אינדקס, ממש כמו האות <math>i</math> באבר הבסיס <math>v_i</math> (שמסמן אבר בסיס עבור ממד סופי).

במקרה כזה, כמו בכל מקרה של מעבר מבדיד לרצף, הסכום הופך לאינטגרל. לכן, צירוף לינארי של אברי הבסיס במקרה שלנו ייראה כך:
<math>\int\limits_{p\in I} \alpha(p)v(p,x)dp</math> . שימו לב, שתוצאת האינטגרל הזו נותנת לנו וקטור שתלוי במשתנה <math>x</math> , כלומר וקטור במרחב שלנו.

===הקשר לפיזיקה קוונטית ולפונקצית גל===
נתבונן בגל מישורי בעל מספר גל <math>k</math> מסוים. כידוע, מספר זה מקיים: <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math> , והוא ממשי. [[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 1#מסת הפוטון?|ראינו]] שמתקיים: <math>\vec p=\hbar\vec k</math> , לכן גם <math>p</math> מייצג את מספר הגל.

בדומה למה שראינו [[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 4#פונקצית גל ומשוואת שרדינגר|קודם]], גל מישורי כללי בממד אחד בעל קבוע <math>k</math> ניתן לתיאור באמצעות: <math>e^{\frac{i}{\hbar}\left(-\frac{p^2}{2m}t+px\right)}</math> .

על-מנת לתאר גל כללי במרחב עלינו לבצע, אם כן, סופרפוזיציה (ס"פ, הרכבה, צירוף לינארי) של גלים בעלי מספרי <math>k</math> שונים. במקרה הכללי, יש לנו רצף של מספרים כאלה. לכן, גל כללי, המורכב מס"פ של גלים מישוריים, ייראה כך:
<math>\psi(x,t)=\int\limits_{-\infty}^\infty g(p) e^{\frac{i}{\hbar}\left(-\frac{p^2}{2m}t+px\right)}\cdot dp</math> כאשר <math>g(p)</math> הינו המקדם (או "המשקל") המתאים לכל <math>p</math> .

===התפשטות של חבורת גלים===
ברגע <math>t=0</math> מכינים חבורת גלים:
<math>\psi(x,t=0)=\int g(p)\cdot e^{\frac{i}{\hbar}px}dp</math>

אנו מניחים שהפונקציה <math>g(p)</math> היא [[ויקיספר:קישור שעדיין לא קיים|גאוסיאן]]. כזכור, בהסתברות גאוסיאן הוא מהצורה: <math>\frac{e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{\sigma\sqrt{2\pi}}</math> , כאשר <math>\mu</math> מסמל את הממוצע ו- <math>\sigma</math> את סטיית התקן. במקרה שלנו, ניקח גאוסיאן כללי, כלומר מהצורה <math>A e^{-\alpha(p-p_0)^2}</math>. לכן, חבורת הגלים שלנו תיראה כך:
:<math>\int g(p)\cdot e^{\frac{i}{\hbar}px}dp=\int A e^{-\alpha(p-p_0)^2}\cdot e^{\frac{i}{\hbar}px}dp=A\int e^{-\alpha(p-p_0)^2+\frac{i}{\hbar}px}</math>


נסמן: <math>p'=p-p_0</math> , כך שמתקיים: <math>p=p_0+p'</math> . ואז, ברגע <math>t=0</math> חבורת הגלים שלנו תיראה כך:
:<math>\psi(x,t=0)=A\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(p')^2+\frac{i}{\hbar}(p_0+p')x}dp'=</math>
:<math>=A\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(p')^2+\frac{i}{\hbar}p_0x+\frac{i}{\hbar}p'x}dp'=Ae^{\frac{i}{\hbar}p_0x}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(p')^2}e^{\frac{i}{\hbar}p'x}dp'=</math>


:<math>=Ae^{\frac{i}{\hbar}p_0x}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(p')^2}\left[\cos\left(\tfrac{p'x}{\hbar}\right)+i\sin\left(\tfrac{p'x}{\hbar} \right)\right]dp'=</math>


:<math>=Ae^{\frac{i}{\hbar}p_0x}\left[\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(p')^2}\cos\left(\tfrac{p'x}{\hbar}\right)dp'+i\int\limits_{-\infty}^\infty  e^{-\alpha(p')^2}\sin\left(\tfrac{p'x}{\hbar}\right)dp'\right]=</math>


:<math>=A\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{\frac{i}{\hbar}p_0x-\frac{x^2}{4\alpha\hbar}}</math>

==התפתחות בזמן של חבורת גלים==
עד כה דנו בגל, או יותר נכון - בחבורת גלים, ברגע <math>t=0</math> . כעת, נתבונן בהתנהגות החבורה בזמן <math>t</math> כלשהו, כלומר בהתפתחות שלה בזמן:<br />
באופן כללי:<br />
<math>\ = \psi  \left( x, t=0 \right) \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}t} </math>
(התפתחות בזמן) <math>\ \psi (x,t) = \psi \left( x, t=0 \right) \times </math> 

<math>\ =  A \int _{-\infty}^{\infty} dp \cdot e^{-\alpha \left( p-p_0\right) ^2 + \frac{i}{\hbar} px - \frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}t}  </math>

</br>נציב שוב <math>\ p' = p-p_0 </math>, כך ששוב יתקיים: <math>\ p=p_0+p' </math>. נקבל: <br />

<math>\ \psi (x,t) = A \cdot \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} p_0x + \frac{i}{\hbar} p'x - \frac{i}{\hbar} \frac{\left( p_0 +p' \right) ^2}{2m} t} =</math>

<math>\ = A \cdot \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} p_0x + \frac{i}{\hbar} p'x - \frac{i}{\hbar} \frac{ p_0^2 +2p_0p' + p'^2 }{2m}t} = </math>

<math>\ =   A \cdot \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} p_0x + \frac{i}{\hbar} p'x - \frac{i}{\hbar}\frac{p_0^2}{2m}t - \frac{i}{\hbar}\frac{p_0p'}{m}t - \frac{i}{\hbar}\frac{p'^2}{2m}t } = </math>

<math>\ = A e^{\frac{i}{\hbar} p_0x - \frac{i}{\hbar} \frac{p_0^2}{2m}t} +  \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\left( \alpha + \frac{t}{2m \hbar} \right) p'^2 + \frac{i}{\hbar} \left(x-\frac{p_0t}{m} \right) p'} </math>

קיבלנו שוב אינטגרל מהצורה <math>\ e^{\beta (p')^2 + \gamma p' } </math>, אלא שהפעם: <math>\ \gamma = x-\frac{p_0}{m}t, \ \ \beta = \alpha + \frac{i}{2m\hbar}t </math>. </br>
נסמן לכן: <math>\ V_0 = \frac{p_o}{m}, \ \beta _0 = \frac{1}{2m\hbar} </math>. נקבל: </br>
<math>\ \psi \left( x, t \right) = A e^{ \frac{i}{\hbar} \left( p_0x - \frac{p_0^2}{2m}t \right) } \sqrt{\frac{\pi}{\alpha + i \beta _0 t}} \cdot e^{\frac{- \left(x-v_0t \right)}{4 \left( \alpha + i\beta _0t \right) \hbar ^2 }} </math>

===ניתוח התוצאה===
נשים לב שהאקספוננט השני שהתקבל, כלומר ה- <math>\ {\frac{- \left(x-v_0t \right)}{4 \left( \alpha + i\beta _0t \right) \hbar ^2 }} </math>, הוא בצורת גאוסיאן. ניזכר שוב ב[[הסתברות/גאוסיאן|מתמטיקה של הגאוסיאן]]: נזכור ש'''המונה''' קובע את '''רוחב''' הגאוסיאן, ואילו ''המכנה'' קובע את ''רוחבו''.
*  עבור <math>\ e^{-\frac{x^2}{A}} </math> נקבל גאוסיאן ברוחב <math>\ \sqrt{A} </math>. במקרה שלנו, המכנה גדל עם הזמן, לכן עם הזמן גם הגאוסיאן של חבילת הגלים מתרחב. במילים אחרות, רוחב החבילה גדל.
* גם המונה גדל עם הזמן - כלומר, מדובר בחבילת גלים שלא רק מתרחבת, אלא גם נעה - מסקנה מתבקשת כשמדובר בחבורת גלים.

הסתברות: כזכור, פונקצית הגל מבטאת הסתברות, או יותר נכון - פונקצית הגל בריבוע. נזכור שעבור מספר מרוכב <math>\ a+ib </math> מתקיים: <math>\ \left| a+ib \right| ^2 = a^2 + b^2 </math>.
</br>נקבל:

<math>\ \left| \psi \left( x,t, \right) \right| ^2 = A^2 \left( \frac{\pi ^2}{\alpha ^2 + \beta _0^2t^2} \right)  ^{\frac{1}{2}} \cdot \left| \exp \left\{ - \frac{\left( x-v_0t \right) ^2}{4 \left( \alpha + i \beta _0 t \right) \hbar ^2} \right\} \right| ^2 </math>
</br>תזכורת עבור העלאת האקספוננט בריבוע: עבור <math>\ \gamma = a + ib </math>, מתקיים:<br />
<math>\ \left| e^\gamma \right| ^2 = e^\gamma \cdot e^{\gamma ^*} = e^{a+ib}e^{a-ib}=e^{2a} </math>. לכן, במקרה שלנו, נקבל:<br />
<math>\ \left| \psi \left( x,t, \right) \right| ^2 =A^2 \frac{\pi}{\left( \alpha ^2 + \beta _0 ^2 t^2 \right) ^{\frac{1}{2}}} \cdot \exp \left\{ - \frac{\alpha \left( x-v_0t \right) ^2}{2 \left( \alpha ^2 + \beta_0 ^2 t^2 \right) \hbar ^2 } \right\} </math>

נסמן: <math>\ \Delta x (t) </math> = רוחב הגאוסיאן בזמן <math>\ t </math>. ולפי התזכורת שרשמנו למעלה לגבי גודל זה, נקבל שמתקיים: <math>\ \Delta x (t) \simeq \hbar \sqrt{\frac{ \alpha ^2 + \beta _0 ^2t^2}{\alpha}} </math>.
</br>נציב את <math>\ \beta _0 = \frac{1}{2m \hbar} </math>, ונקבל:<br />
<math>\ \Delta x(t) = \hbar \frac{\alpha ^2 + \frac{t^2}{2m\hbar}}{\alpha} = \hbar \left( \frac{\alpha ^2}{\alpha} + \frac{t^2}{2m\hbar\alpha}  \right) = \hbar \left( \alpha + \frac{t^2}{2m\hbar\alpha} \right) </math>. נציב כעת <math>\ t=0 </math>, ונקבל: <math>\ \Delta x (0) = \alpha </math>. ומכאן:<br />
<math>\ \frac{\Delta x (t)}{\Delta x (0)} = \frac{\hbar \left( \alpha + \frac{t^2}{2m\hbar\alpha} \right)}{\alpha} =  \left[ 1 + \left( \frac{t}{2m \hbar \alpha} \right) ^2 \right] ^{\frac{1}{2}} </math>


<table id=toc width = 75% border = 1 align = "center">
<tr>
<td wisth = 40% align = "center"> ההרצאה הקודמת:<br> [[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 4|הרצאה מספר 4]] 
<td width = 30% align = "center">עמוד ראשי:<br>[[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס]]</td>
<td wisth = 40% align = "center"> ההרצאה הבאה: <br> [[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 6|הרצאה מספר 6]] </td>
</tr>
</table>

[[קטגוריה:פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס|5]]