פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 5

חבורת גלים

הקדמה אלגברית

ניזכר באלגברה לינארית: כל אבר במרחב וקטורי ניתן לייצוג על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס של המרחב. נניח שאיברי הבסיס עמו אנו עובדים הם $\{v_i{\}}_{i=1}^N$ , הרי שצירוף לינארי שלהם ייראה כך: $\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{v}_i$ , כאשר $\{{\alpha }_i{\}}_{i=1}^N$ סקלרים.

כאשר יש לנו מרחב מממד N) N סופי או אינסופי, אבל בר-מניה), נוכל לכתוב את הצירוף הלינארי כסכום כלשהו, למשל: $\sum _{n\in N}{\alpha }_n{v}_n$ . אבל, מה קורה כאשר המימד של המרחב הוא רצף? כיצד נכתוב צירוף לינארי במקרה הזה?

נניח שיש לנו בסיס בממד רצף, כלומר אברי הבסיס הם $\{v(p,x)\}$ כאשר $p$ שייך לאינטרוול כלשהו $I$ (שיכול להיות גם כל הישר). שימו לב, שכאן לא מדובר בתלות ב- $p$ אלא האות $p$ מבטאת אינדקס, ממש כמו האות $i$ באבר הבסיס $v_i$ (שמסמן אבר בסיס עבור ממד סופי).

במקרה כזה, כמו בכל מקרה של מעבר מבדיד לרצף, הסכום הופך לאינטגרל. לכן, צירוף לינארי של אברי הבסיס במקרה שלנו ייראה כך: $\underset{p\in I}{\int }\alpha (p)v(p,x)dp$ . שימו לב, שתוצאת האינטגרל הזו נותנת לנו וקטור שתלוי במשתנה $x$ , כלומר וקטור במרחב שלנו.

הקשר לפיזיקה קוונטית ולפונקצית גל

נתבונן בגל מישורי בעל מספר גל $k$ מסוים. כידוע, מספר זה מקיים: $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ , והוא ממשי. ראינו שמתקיים: $\overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k}$ , לכן גם $p$ מייצג את מספר הגל.

בדומה למה שראינו קודם, גל מישורי כללי בממד אחד בעל קבוע $k$ ניתן לתיאור באמצעות: $e^{\frac{i}{\hslash }(-\frac{p^2}{2m}t+px)}$ .

על-מנת לתאר גל כללי במרחב עלינו לבצע, אם כן, סופרפוזיציה (ס"פ, הרכבה, צירוף לינארי) של גלים בעלי מספרי $k$ שונים. במקרה הכללי, יש לנו רצף של מספרים כאלה. לכן, גל כללי, המורכב מס"פ של גלים מישוריים, ייראה כך: $\psi (x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(p)e^{\frac{i}{\hslash }(-\frac{p^2}{2m}t+px)}\cdot dp$ כאשר $g(p)$ הינו המקדם (או "המשקל") המתאים לכל $p$ .

התפשטות של חבורת גלים

ברגע $t=0$ מכינים חבורת גלים: $\psi (x,t=0)=\int g(p)\cdot e^{\frac{i}{\hslash }px}dp$

אנו מניחים שהפונקציה $g(p)$ היא גאוסיאן. כזכור, בהסתברות גאוסיאן הוא מהצורה: $\frac{e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sigma \sqrt{2\pi }}$ , כאשר $\mu$ מסמל את הממוצע ו- $\sigma$ את סטיית התקן. במקרה שלנו, ניקח גאוסיאן כללי, כלומר מהצורה $A{e}^{-\alpha (p-p_0{)}^2}$. לכן, חבורת הגלים שלנו תיראה כך:

$\int g(p)\cdot e^{\frac{i}{\hslash }px}dp=\int A{e}^{-\alpha (p-p_0{)}^2}\cdot e^{\frac{i}{\hslash }px}dp=A\int e^{-\alpha (p-p_0{)}^2+\frac{i}{\hslash }px}$

נסמן: $p^{\prime }=p-p_0$ , כך שמתקיים: $p=p_0+p^{\prime }$ . ואז, ברגע $t=0$ חבורת הגלים שלנו תיראה כך:

$\psi (x,t=0)=A\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha (p^{\prime }{)}^2+\frac{i}{\hslash }(p_0+p^{\prime })x}d{p}^{\prime }=$

$=A\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha (p^{\prime }{)}^2+\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x+\frac{i}{\hslash }{p}^{\prime }x}d{p}^{\prime }=A{e}^{\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha (p^{\prime }{)}^2}{e}^{\frac{i}{\hslash }{p}^{\prime }x}d{p}^{\prime }=$

$=A{e}^{\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha (p^{\prime }{)}^2}[\cos \left(\frac{p^{\prime }x}{\hslash }\right)+i\sin \left(\frac{p^{\prime }x}{\hslash }\right)]d{p}^{\prime }=$

$=A{e}^{\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x}[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha (p^{\prime }{)}^2}\cos \left(\frac{p^{\prime }x}{\hslash }\right)d{p}^{\prime }+i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha (p^{\prime }{)}^2}\sin \left(\frac{p^{\prime }x}{\hslash }\right)d{p}^{\prime }]=$

$=A\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}{e}^{\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x-\frac{x^2}{4\alpha \hslash }}$

התפתחות בזמן של חבורת גלים

עד כה דנו בגל, או יותר נכון - בחבורת גלים, ברגע $t=0$ . כעת, נתבונן בהתנהגות החבורה בזמן $t$ כלשהו, כלומר בהתפתחות שלה בזמן:
באופן כללי:
$=\psi (x,t=0)\cdot e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{p^2}{2m}t}$ (התפתחות בזמן) $\psi (x,t)=\psi (x,t=0)\times$

$=A\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp\cdot e^{-\alpha {(p-p_0)}^2+\frac{i}{\hslash }px-\frac{i}{\hslash }\frac{p^2}{2m}t}$

נציב שוב $p^{\prime }=p-p_0$, כך ששוב יתקיים: $p=p_0+p^{\prime }$. נקבל:

$\psi (x,t)=A\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{p}^{\prime }{e}^{-\alpha {\left(p^{\prime }\right)}^2+\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x+\frac{i}{\hslash }{p}^{\prime }x-\frac{i}{\hslash }\frac{{(p_0+p^{\prime })}^2}{2m}t}=$

$=A\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{p}^{\prime }{e}^{-\alpha {\left(p^{\prime }\right)}^2+\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x+\frac{i}{\hslash }{p}^{\prime }x-\frac{i}{\hslash }\frac{p_0^2+2p_0{p}^{\prime }+p{\text{'}}^2}{2m}t}=$

$=A\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{p}^{\prime }{e}^{-\alpha {\left(p^{\prime }\right)}^2+\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x+\frac{i}{\hslash }{p}^{\prime }x-\frac{i}{\hslash }\frac{p_0^2}{2m}t-\frac{i}{\hslash }\frac{p_0{p}^{\prime }}{m}t-\frac{i}{\hslash }\frac{p{\text{'}}^2}{2m}t}=$

$=A{e}^{\frac{i}{\hslash }{p}_{0}x-\frac{i}{\hslash }\frac{p_0^2}{2m}t}+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{p}^{\prime }{e}^{-(\alpha +\frac{t}{2m\hslash })p{\text{'}}^2+\frac{i}{\hslash }(x-\frac{p_{0}t}{m})p^{\prime }}$

קיבלנו שוב אינטגרל מהצורה $e^{\beta (p^{\prime }{)}^2+\gamma p^{\prime }}$, אלא שהפעם: $\gamma =x-\frac{p_0}{m}t,\beta =\alpha +\frac{i}{2m\hslash }t$.
נסמן לכן: $V_0=\frac{p_o}{m},{\beta }_0=\frac{1}{2m\hslash }$. נקבל:
$\psi (x,t)=A{e}^{\frac{i}{\hslash }(p_{0}x-\frac{p_0^2}{2m}t)}\sqrt{\frac{\pi }{\alpha +i{\beta }_{0}t}}\cdot e^{\frac{-(x-v_{0}t)}{4(\alpha +i{\beta }_{0}t){\hslash }^2}}$

ניתוח התוצאה

נשים לב שהאקספוננט השני שהתקבל, כלומר ה- $\frac{-(x-v_{0}t)}{4(\alpha +i{\beta }_{0}t){\hslash }^2}$, הוא בצורת גאוסיאן. ניזכר שוב במתמטיקה של הגאוסיאן: נזכור שהמונה קובע את רוחב הגאוסיאן, ואילו המכנה קובע את רוחבו.

• עבור $e^{-\frac{x^2}{A}}$ נקבל גאוסיאן ברוחב $\sqrt{A}$. במקרה שלנו, המכנה גדל עם הזמן, לכן עם הזמן גם הגאוסיאן של חבילת הגלים מתרחב. במילים אחרות, רוחב החבילה גדל.
• גם המונה גדל עם הזמן - כלומר, מדובר בחבילת גלים שלא רק מתרחבת, אלא גם נעה - מסקנה מתבקשת כשמדובר בחבורת גלים.

הסתברות: כזכור, פונקצית הגל מבטאת הסתברות, או יותר נכון - פונקצית הגל בריבוע. נזכור שעבור מספר מרוכב $a+ib$ מתקיים: ${|a+ib|}^2=a^2+b^2$.
נקבל:

${\left|\psi (x,t,)\right|}^2=A^2{\left(\frac{{\pi }^2}{{\alpha }^2+{\beta }_0^2{t}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {|\exp \{-\frac{{(x-v_{0}t)}^2}{4(\alpha +i{\beta }_{0}t){\hslash }^2}\}|}^2$
תזכורת עבור העלאת האקספוננט בריבוע: עבור $\gamma =a+ib$, מתקיים:
${\left|e^{\gamma }\right|}^2=e^{\gamma }\cdot e^{{\gamma }^{*}}=e^{a+ib}{e}^{a-ib}=e^{2a}$. לכן, במקרה שלנו, נקבל:
${\left|\psi (x,t,)\right|}^2=A^2\frac{\pi }{{({\alpha }^2+{\beta }_0^2{t}^2)}^{\frac{1}{2}}}\cdot \exp \{-\frac{\alpha {(x-v_{0}t)}^2}{2({\alpha }^2+{\beta }_0^2{t}^2){\hslash }^2}\}$

נסמן: $\mathrm{\Delta }x(t)$ = רוחב הגאוסיאן בזמן $t$. ולפי התזכורת שרשמנו למעלה לגבי גודל זה, נקבל שמתקיים: $\mathrm{\Delta }x(t)\simeq \hslash \sqrt{\frac{{\alpha }^2+{\beta }_0^2{t}^2}{\alpha }}$.
נציב את ${\beta }_0=\frac{1}{2m\hslash }$, ונקבל:
$\mathrm{\Delta }x(t)=\hslash \frac{{\alpha }^2+\frac{t^2}{2m\hslash }}{\alpha }=\hslash (\frac{{\alpha }^2}{\alpha }+\frac{t^2}{2m\hslash \alpha })=\hslash (\alpha +\frac{t^2}{2m\hslash \alpha })$. נציב כעת $t=0$, ונקבל: $\mathrm{\Delta }x(0)=\alpha$. ומכאן:
$\frac{\mathrm{\Delta }x(t)}{\mathrm{\Delta }x(0)}=\frac{\hslash (\alpha +\frac{t^2}{2m\hslash \alpha })}{\alpha }={[1+{\left(\frac{t}{2m\hslash \alpha }\right)}^2]}^{\frac{1}{2}}$

ההרצאה הקודמת: הרצאה מספר 4

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 6