הצגת המקור של הדף "פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 6"

==דוגמה לעקרון אי-הוודאות של הייזנברג==
ניקח גל מישורי סטנדרטי: <math>\ y \left( x,t \right) = A \cdot \cos \left( \omega t-kx \right) = A \cdot Re \left( e^{-i \left ( kx-\omega t \right)  } \right) </math> 
</br>
<u>נגדיר</u>: <math>\ \tilde {\bar y} (x,t) = A \cdot e^{-i\left( kx-\omega t \right) } </math> - זהו גל מישורי יחיד עם מספר גל <math>\ k </math>. נזכור שמתקיים: <math>\ k= \frac{2\pi}{\lambda} </math>, כלומר לגל זה ישנה תדירות מסויימת ויחידה. </br>
יהא כעת <math>\ k \in [k_1,k_2] </math>, ונרצה להרכיב מספר אינסופי של גלים מישוריים בעלי רצף התדירויות הנ"ל. נבנה זאת באופן הבא:
<math>\ \bar y (x,t) = \frac{A}{k_2-k_1} \underbrace{\int\limits^{k_1}_{k_2} dk}_{*} \cdot \underbrace{e^{i \left( kx-\omega t\right)}}_{**} </math>, (כאשר <math>\ *</math> = סכימה על רצף תדירויות ו- <math>\ ** </math>= עבור תדירות מסויימת) </br>
<math>\ \Rightarrow \bar y (x,t) = \frac{A}{k_2-k_1} \cdot e^{-i \omega t} \int\limits^{k_1}_{k_2} dk \cdot e^{ikx} = </math>
<math>\ = \frac{A}{k_2-k_1} \cdot e^{-i\omega t} \cdot \frac{1}{ix} \left( e^{ik_2x}-e^{ik_1x}\right) = </math>
<math>\ = \frac{A\cdot e^{i\omega t}}{k_2-k_1} \frac{1}{ix} e^{i\left( \frac{k_1+k_2}{2}\right) x}\underbrace{ \left(e^{i \frac{k_2-k_1}{2}x}-e^{-i \frac{k_2-k_1}{2}x}\right)}_{*} </math>
<br />מתקיים: <math>\ * = \left(e^{i \frac{k_2-k_1}{2}x}-e^{-i \frac{k_2-k_1}{2}x}\right) = 2i \sin \left( \frac{k_2-k_1}{2} \right) </math>. נסמן: <math>\ \Delta K = k_2-k_1 </math>, ונקבל:  <math>\ \bar y (x,t) = A \cdot e^{-i \omega t} e^{\frac{i\left(k_1+k_2\right)}{2}x} \frac{\sin\left( \frac{1}{2} \Delta k x\right)}{\frac{1}{2} \Delta k x} </math>
<math>\ \Rightarrow y(x,t) = Re \left( \hat y(x,t) \right) =  \frac{\sin\left( \frac{1}{2} \Delta k x\right)}{\frac{1}{2} \Delta k x} \cdot \cos \left( \frac{k_1+k_2}{2}x -\omega t \right) </math>.<br />וכל מי שאי פעם למד גלים יודע שגרף הפונקציה נראה כך:<br /> [[תמונה:Sincx.jpg]]
נסמן: <math>\ x_2- x_1 = \Delta x </math>., ונרצה ללמוד משהו על הקשר בינו לבין <math>\ \Delta k </math> (שהוא, כזכור, טווח בתדירויות שלנו). לשם כך, נבדוק מתי הסינוס מתאפס: </br>
<math>\ \sin\left( \frac{1}{2} \Delta k x\right) =0 </math> 
<math>\ \frac{1}{2} \Delta k x = n \pi \Leftarrow </math> עבור <math>\ n \in \mathbb{Z} </math> מסויים. </br>
נתבונן בגרף: עבור הנקודה <math>\ x_1 </math>, מתקיים: <math>\ \frac{1}{2} \Delta k x_1 = -\pi </math>, ואילו עבור הנקודה <math>\ x_2 </math>, מתקיים: <math>\ \frac{1}{2} \Delta k x_2 = +\pi </math>. נחסר את שני אלה, ונקבל:
<math>\ \frac{1}{2} \Delta k \Delta x = 2 \pi\Leftarrow \frac{1}{2} \Delta k \left( x_2-x_1 \right) = 2 \pi  </math> </br>

<div style="text-align: center;">
{{מבנה תבנית|רקע=#FCECAD|מסגרת=#AFAFAF|תמונה=Nuvola apps kcmsystem.png|גודל=50px|כותרת=וקיבלנו:|הסבר=<math>\ \Delta x \Delta k = 4 \pi </math>}}

</div>

כלומר: אם נרצה לקבל <math>\ \Delta x </math> יותר גדול, יהא עלינו לקחת <math>\ \Delta k </math> יותר קטן, ולהיפך. זוהי דוגמא לעיקרון אי-הוודאות, ויותר מאוחר נראה את הקשר בין עקרון זה לבין התמרת פוריה.

==הרכבה של גלים מישוריים (באופן כללי)==
כאמור, אסכמת (אינטגרל) של גלים מישוריים בתחום התדרים <math>\ \left[ k_1,k_2 \right] </math> תראה כך: <math>\ \psi (x,t) = \frac{A}{k_1-k_2} \int\limits^{k_2}_{k_1}dk \cdot e^{i \left( kx-\omega t \right) } </math>. מדובר בהרכבה (סופרפוזיציה, צירוף לינארי), כאשר לכל <math>\ k \in \left[ k_1,k_2\right] </math> המקדם של הפונקציה הוא <math>\ \frac{A}{k_2-k_1} </math>. </br>
כעת: לכל <math>\ k \in \left( - \infty ,\infty \right) </math> נתאים מקדם <math>\ g \left( k \right) </math> כלשהו.  <math>\ g \left( k \right) </math> שונה מ- <math>\ k </math> ל- <math>\ k </math>, והוא מהווה פונקצית משקל עבור הגל בעל המאפיין <math>\ k </math>. במילים אחרות, <math>\ g \left( k \right) </math> הוא המקדם של האיבר ה- <math>\ k </math>-י, כפי שהוסבר [[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 5#חבורת גלים#הקדמה אלגברית|בתחילת ההרצאה הקודמת]].  
</br>נרחיב כעת את גבולות האינטגרל לכל הישר הממשי, ומקדם הנרמול שלנו (המקדם שלפני האינטגרל - יותר מאוחר נראה מדוע הוא נקרא "מקדם נרמול") יהיה <math>\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }} </math>. ואז חבורת הגלים שלנו תהיה:
<math>\ \psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int\limits^\infty _{-\infty } dk \cdot g(k) \cdot e ^{i \left( kx-\omega t \right)} </math>.
</br>נציב <math>\ t=o </math>, ונקבל: <math>\ \psi (x, t=0) = \psi (x,0) - \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int\limits^\infty _{-\infty } dk \cdot g(k) \cdot e ^{ikx} </math>
</br>בעזרת התמרת פוריה, נוכל להסיק מכאן כי: <math>\ g\left( k \right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int\limits^\infty_{-\infty } dx \cdot \psi (x,0) e^{-ikx} </math>.

===ניתוח החבורה ===
הפונקציה <math>\ \psi (x,0) </math> היא, כאמור, הרכבה של גלים מישוריים. לכן, קיימת תופעת התאבכות ,ונרצה לחקור אותה. על מנת לעשות זאת, נחפש את המקסימום של הפונקציה. </br>
נניח שהפונקציה <math>\ g(k) </math> היא גאוסיאנית. ואז, נוכל לכתוב אותה באופן הבא: <math>\ g(k) = \left| g(k) \right| \cdot e^{i \alpha (k) } </math>.
[[תמונה:Gauss1.jpg|כך נראה גאוסיאן כללי]]<br />
באופן כללי יתכן גם ש- <math>\ \Delta k = \infty </math>, אבל כרגע נניח שהוא קטן מספיק. אם כן, נוכל לקרב את הפאזה של <math>\ g(k) </math> באמצעות טור טיילור באופן הבא:
<math>\ \alpha (k) \simeq \alpha \left( k_0 \right) + \underbrace {\left( k-k_0 \right)} _{=\Delta k} \left. \left( \frac{\partial \alpha}{\partial k} \right) \right| _{k=k_0} + ...(*) </math>, כאשר * = איברים שניתן להזניח.



<math>\ \Rightarrow \psi \left( x,0 \right) \simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \int \limits^\infty_{-\infty } dk \left| g \left( k \right) \right| e^{i\left( \alpha  \left( k_0 \right) + \left( k- k_o \right) \left. \left( \frac{\partial \alpha}{\partial k} \right) \right|  _{k=k_0} \right) } e^{ikx} </math>

נסמן: 
<math>\ x_0 \equiv -\left. \left( \frac{\partial \alpha}{\partial k}  \right) \right|  _{k=k_0}</math>
.אז נקבל:


<div style="direction: ltr;">
<math>\ \psi \left( x,0 \right) \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + \left( k- k_0 \right) x_0 +kx \right) } = </math>

</div>
<div style="direction: ltr;">
<math>\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + k x_0 - k_0 x_0 +kx \right) } = </math>

</div>
<div style="direction: ltr;">
<math>\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + k x_0 - k_0 x_0 +kx +k_0 x - k_0 x \right)  } = </math>

</div>
<div style="direction: ltr;">
<math>\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + k_0 x \right) + i \left( k x_0 -k_0 x_0 + kx - k_0x \right) }  </math>
</div>


כעת: נשים לב ש- <math>\ \alpha \left( k_0 \right) </math> הוא מספר, וש- <math>\ k_0 x </math> לא תלוי ב- k - כלומר אפשר להוציא אותו מחוץ לאסכמת. ונקבל:



<math>\ \psi \left( x,0 \right) = \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^ {i \alpha \left( k_0 \right) + k_0 x } \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( k - k_0 \right) \left( x - x_0 \right) } </math>


נסמן: <math>\ A = \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( k - k_0 \right) \left( x - x_0 \right) } </math>, ונרצה לחקור את ההתנהגות של A.





<table id=toc width = 75% border = 1 align = "center">
<tr>
<td wisth = 40% align = "center"> ההרצאה הקודמת:<br> [[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 5|הרצאה מספר 5]] 
<td width = 30% align = "center">עמוד ראשי:<br>[[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס]]</td>
<td wisth = 40% align = "center"> ההרצאה הבאה: <br> [[פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 7|הרצאה מספר 7]] </td>
</tr>
</table>

[[קטגוריה:פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס|6]]