פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 6

דוגמה לעקרון אי-הוודאות של הייזנברג

ניקח גל מישורי סטנדרטי: $y(x,t)=A\cdot \cos (\omega t-kx)=A\cdot Re\left(e^{-i(kx-\omega t)}\right)$
נגדיר: $\tilde{\overline{y}}(x,t)=A\cdot e^{-i(kx-\omega t)}$ - זהו גל מישורי יחיד עם מספר גל $k$. נזכור שמתקיים: $k=\frac{2\pi }{\lambda }$, כלומר לגל זה ישנה תדירות מסויימת ויחידה.
יהא כעת $k\in [k_1,k_2]$, ונרצה להרכיב מספר אינסופי של גלים מישוריים בעלי רצף התדירויות הנ"ל. נבנה זאת באופן הבא: $\overline{y}(x,t)=\frac{A}{k_2-k_1}\underset{*}{\underbrace{\underset{k_2}{\overset{k_1}{\int }}dk}}\cdot \underset{**}{\underbrace{e^{i(kx-\omega t)}}}$, (כאשר $*$ = סכימה על רצף תדירויות ו- $**$= עבור תדירות מסויימת)
$\Rightarrow \overline{y}(x,t)=\frac{A}{k_2-k_1}\cdot e^{-i\omega t}\underset{k_2}{\overset{k_1}{\int }}dk\cdot e^{ikx}=$ $=\frac{A}{k_2-k_1}\cdot e^{-i\omega t}\cdot \frac{1}{ix}(e^{i{k}_{2}x}-e^{i{k}_{1}x})=$ $=\frac{A\cdot e^{i\omega t}}{k_2-k_1}\frac{1}{ix}{e}^{i\left(\frac{k_1+k_2}{2}\right)x}\underset{*}{\underbrace{(e^{i\frac{k_2-k_1}{2}x}-e^{-i\frac{k_2-k_1}{2}x})}}$
מתקיים: $*=(e^{i\frac{k_2-k_1}{2}x}-e^{-i\frac{k_2-k_1}{2}x})=2i\sin \left(\frac{k_2-k_1}{2}\right)$. נסמן: $\mathrm{\Delta }K=k_2-k_1$, ונקבל: $\overline{y}(x,t)=A\cdot e^{-i\omega t}{e}^{\frac{i(k_1+k_2)}{2}x}\frac{\sin \left(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }kx\right)}{\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }kx}$ $\Rightarrow y(x,t)=Re(\hat{y}(x,t))=\frac{\sin \left(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }kx\right)}{\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }kx}\cdot \cos (\frac{k_1+k_2}{2}x-\omega t)$.
וכל מי שאי פעם למד גלים יודע שגרף הפונקציה נראה כך:
נסמן: $x_2-x_1=\mathrm{\Delta }x$., ונרצה ללמוד משהו על הקשר בינו לבין $\mathrm{\Delta }k$ (שהוא, כזכור, טווח בתדירויות שלנו). לשם כך, נבדוק מתי הסינוס מתאפס:
$\sin \left(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }kx\right)=0$ $\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }kx=n\pi \Leftarrow$ עבור $n\in \mathbb{Z}$ מסויים.
נתבונן בגרף: עבור הנקודה $x_1$, מתקיים: $\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }k{x}_1=-\pi$, ואילו עבור הנקודה $x_2$, מתקיים: $\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }k{x}_2=+\pi$. נחסר את שני אלה, ונקבל: $\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }k\mathrm{\Delta }x=2\pi \Leftarrow \frac{1}{2}\mathrm{\Delta }k(x_2-x_1)=2\pi$

כלומר: אם נרצה לקבל $\mathrm{\Delta }x$ יותר גדול, יהא עלינו לקחת $\mathrm{\Delta }k$ יותר קטן, ולהיפך. זוהי דוגמא לעיקרון אי-הוודאות, ויותר מאוחר נראה את הקשר בין עקרון זה לבין התמרת פוריה.

הרכבה של גלים מישוריים (באופן כללי)

כאמור, אסכמת (אינטגרל) של גלים מישוריים בתחום התדרים $[k_1,k_2]$ תראה כך: $\psi (x,t)=\frac{A}{k_1-k_2}\underset{k_1}{\overset{k_2}{\int }}dk\cdot e^{i(kx-\omega t)}$. מדובר בהרכבה (סופרפוזיציה, צירוף לינארי), כאשר לכל $k\in [k_1,k_2]$ המקדם של הפונקציה הוא $\frac{A}{k_2-k_1}$.
כעת: לכל $k\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ נתאים מקדם $g\left(k\right)$ כלשהו. $g\left(k\right)$ שונה מ- $k$ ל- $k$, והוא מהווה פונקצית משקל עבור הגל בעל המאפיין $k$. במילים אחרות, $g\left(k\right)$ הוא המקדם של האיבר ה- $k$-י, כפי שהוסבר בתחילת ההרצאה הקודמת.
נרחיב כעת את גבולות האינטגרל לכל הישר הממשי, ומקדם הנרמול שלנו (המקדם שלפני האינטגרל - יותר מאוחר נראה מדוע הוא נקרא "מקדם נרמול") יהיה $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$. ואז חבורת הגלים שלנו תהיה: $\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\cdot g(k)\cdot e^{i(kx-\omega t)}$.
נציב $t=o$, ונקבל: $\psi (x,t=0)=\psi (x,0)-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\cdot g(k)\cdot e^{ikx}$
בעזרת התמרת פוריה, נוכל להסיק מכאן כי: $g\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\cdot \psi (x,0)e^{-ikx}$.

ניתוח החבורה

הפונקציה $\psi (x,0)$ היא, כאמור, הרכבה של גלים מישוריים. לכן, קיימת תופעת התאבכות ,ונרצה לחקור אותה. על מנת לעשות זאת, נחפש את המקסימום של הפונקציה.
נניח שהפונקציה $g(k)$ היא גאוסיאנית. ואז, נוכל לכתוב אותה באופן הבא: $g(k)=|g(k)|\cdot e^{i\alpha (k)}$.
באופן כללי יתכן גם ש- $\mathrm{\Delta }k=\mathrm{\infty }$, אבל כרגע נניח שהוא קטן מספיק. אם כן, נוכל לקרב את הפאזה של $g(k)$ באמצעות טור טיילור באופן הבא: $\alpha (k)\simeq \alpha \left(k_0\right)+\underset{=\mathrm{\Delta }k}{\underbrace{(k-k_0)}}{\left(\frac{\partial \alpha }{\partial k}\right)|}_{k=k_0}+...(*)$, כאשר * = איברים שניתן להזניח.

$\Rightarrow \psi (x,0)\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i(\alpha \left(k_0\right)+(k-k_o){\left(\frac{\partial \alpha }{\partial k}\right)|}_{k=k_0})}{e}^{ikx}$

נסמן: $x_0\equiv -{\left(\frac{\partial \alpha }{\partial k}\right)|}_{k=k_0}$ .אז נקבל:

$\psi (x,0)\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i(\alpha \left(k_0\right)+(k-k_0)x_0+kx)}=$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i(\alpha \left(k_0\right)+k{x}_0-k_0{x}_0+kx)}=$

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i(\alpha \left(k_0\right)+k{x}_0-k_0{x}_0+kx+k_{0}x-k_{0}x)}=$

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i(\alpha \left(k_0\right)+k_{0}x)+i(k{x}_0-k_0{x}_0+kx-k_{0}x)}$

כעת: נשים לב ש- $\alpha \left(k_0\right)$ הוא מספר, וש- $k_{0}x$ לא תלוי ב- k - כלומר אפשר להוציא אותו מחוץ לאסכמת. ונקבל:

$\psi (x,0)=\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{i\alpha \left(k_0\right)+k_{0}x}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i(k-k_0)(x-x_0)}$

נסמן: $A=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i(k-k_0)(x-x_0)}$, ונרצה לחקור את ההתנהגות של A.

ההרצאה הקודמת: הרצאה מספר 5

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 7