הצגת המקור של הדף "תורת הבקרה/הצבת קטבים"

(להשלים)

===מטלאב===
<source lang="matlab">
K=place(...)
</source>

===דוגמה===
[[תמונה:Cart-pendulum.png|שמאל|400px|ממוזער|מטטלת הפוכה]]
באיור מופיעה מטוטלת הפוכה. אות הכניסה הוא הכוח F, ומשתני המצב הם &theta;, &omega;, T, כאשר T הוא המומנט המופעל על ידי המנוע הנמצא בנקודת החיבור של המוט לקרונית. גודל המומנט מתקבל באמצעות בקר G שמקבל כקלט את האות F:
:<math>\ F\to G\to T</math>
נניח כי הבקר הוא מהצורה:
:<math>\ G={k\over sL+R}</math>
משוואות התנועה הן:
:<math>\ \begin{cases}ml^2\ddot\theta=T+mgl\sin\theta \\ F{k\over sL+R}=T\ \Rightarrow\ L\dot T+RT=kF \end{cases}</math>
ולכן משתני המצב הם:
:<math>\ \begin{cases}\dot\theta=\omega \\ \dot\omega={T\over ml^2}+{g\over l}\theta \\ \dot T={kF-RT\over L} \end{cases}</math>
כך שמשוואת המצב היא:
:<math>\ \begin{pmatrix} \dot\theta \\ \dot\omega \\ \dot T \end{pmatrix}= \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1 &0 \\ {g\over l} & 0 & {1\over ml^2} \\ 0 & 0 & -{R\over L} \end{bmatrix}}_{A} \begin{pmatrix} \theta \\ \omega \\ T \end{pmatrix}+ \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ {k\over L} \end{pmatrix}}_{B} F</math>
נמצא את הפולינום האופייני:
:<math>\ |sI-A|=\left(s+{R\over L} \right)\left[ s^2-{g\over l} \right]</math>
אחד הקטבים חיובי, ולכן המערכת לא יציבה. נבדוק בקירות:
:<math>\ rank[A|AB|A^2B]= {k\over L}\begin{bmatrix} 0 & 0 & {1\over ml^2} \\ 0 & {1\over ml^2} & -{R\over ml^2L} \\ 1 & -{R\over L} & {R^2\over L^2}\end{bmatrix}=3 = \dim\vec x</math>
ולכן המערכת בקירה.

נניח משוב מצב מלא בחוג סגור, כך ש:
:<math>\ F=-Kx</math>
{{תזכורת|רק כאן מתחיל שלב הצבת הקטבים...}}
ונמצא מטריצה K כזו שקטבי החוג הסגור יהיו:
:<math>\ s_1=-10,\ s_{2,3}=-{1\over 2}\pm j{\sqrt{3}\over 2}</math>
על ידי הצבה למשוואת המצב:
:<math>\ F=-Kx=-[K_1\quad K_2\quad K_3]\begin{pmatrix} \theta \\ \omega \\ T \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad BF={k \over L}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -K_1 & -K_2 & -K_3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta \\ \omega \\ T \end{pmatrix} </math>
הוספת הביטוי האחרון למטריצה A תתן לנו את משוואת המצב של החוג הסגור:
:<math>\ \begin{pmatrix} \dot\theta \\ \dot\omega \\ \dot T \end{pmatrix}= \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ {g\over l} & 0 & {1\over ml^2} \\ -{k\over L}K_1 & -{k\over L}K_2 & -{k\over L}K_3-{R\over L} \end{bmatrix}}_{A_{CL}} \begin{pmatrix} \theta \\ \omega \\ T \end{pmatrix}</math>
על ידי תוכנה (מייפל למשל), נקבל בקלות את הפולינום האופייני:
:<math>\ \Delta (s)=s^3+ {kK_3+R\over L}s^2+ {kK_2-gLml\over Lml^2}s+ {kK_1-gmlkK_3-gmlR\over Lml^2}</math>
ואילו הפולינום הדרוש הוא:
:<math>\ \Delta (s)=(s+10)(s+\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2})(s+\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2})= s^3+11s^2+11s+10</math>
כך שמהשוואת מקדמים מתקבל:
:<math>\ \begin{cases} K_1=ml{L\over k}(11g+10l) \\ K_2=ml{L\over k}(g+11l) \\ K_3= {-R+11L\over k} \end{cases}</math>

[[קטגוריה:תורת הבקרה|ק]]