תורת הבקרה/הצבת קטבים

(להשלים)

מטלאב

K=place(...)

דוגמה

מטטלת הפוכה

באיור מופיעה מטוטלת הפוכה. אות הכניסה הוא הכוח F, ומשתני המצב הם θ, ω, T, כאשר T הוא המומנט המופעל על ידי המנוע הנמצא בנקודת החיבור של המוט לקרונית. גודל המומנט מתקבל באמצעות בקר G שמקבל כקלט את האות F:

$F\to G\to T$

נניח כי הבקר הוא מהצורה:

$G=\frac{k}{sL+R}$

משוואות התנועה הן:

$\{\begin{array}{c}m{l}^2\ddot{\theta }=T+mgl\sin \theta \\ F\frac{k}{sL+R}=T\Rightarrow L\dot{T}+RT=kF\end{array}$

ולכן משתני המצב הם:

$\{\begin{array}{c}\dot{\theta }=\omega \\ \dot{\omega }=\frac{T}{m{l}^2}+\frac{g}{l}\theta \\ \dot{T}=\frac{kF-RT}{L}\end{array}$

כך שמשוואת המצב היא:

$\left(\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \dot{\omega }\\ \dot{T}\end{array}\right)=\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \frac{g}{l}& 0& \frac{1}{m{l}^2}\\ 0& 0& -\frac{R}{L}\end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}\theta \\ \omega \\ T\end{array}\right)+\underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{k}{L}\end{array}\right)}}F$

נמצא את הפולינום האופייני:

$|sI-A|=(s+\frac{R}{L})[s^2-\frac{g}{l}]$

אחד הקטבים חיובי, ולכן המערכת לא יציבה. נבדוק בקירות:

$rank[A|AB|A^{2}B]=\frac{k}{L}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& \frac{1}{m{l}^2}\\ 0& \frac{1}{m{l}^2}& -\frac{R}{m{l}^{2}L}\\ 1& -\frac{R}{L}& \frac{R^2}{L^2}\end{array}\right]=3=\dim \overrightarrow{x}$

ולכן המערכת בקירה.

נניח משוב מצב מלא בחוג סגור, כך ש:

$F=-Kx$

תבנית:תזכורת ונמצא מטריצה K כזו שקטבי החוג הסגור יהיו:

$s_1=-10,s_{2,3}=-\frac{1}{2}\pm j\frac{\sqrt{3}}{2}$

על ידי הצבה למשוואת המצב:

$F=-Kx=-[K_1{K}_2{K}_3]\left(\begin{array}{c}\theta \\ \omega \\ T\end{array}\right)\Rightarrow BF=\frac{k}{L}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ -K_1& -K_2& -K_3\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}\theta \\ \omega \\ T\end{array}\right)$

הוספת הביטוי האחרון למטריצה A תתן לנו את משוואת המצב של החוג הסגור:

$\left(\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \dot{\omega }\\ \dot{T}\end{array}\right)=\underset{A_{CL}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \frac{g}{l}& 0& \frac{1}{m{l}^2}\\ -\frac{k}{L}{K}_1& -\frac{k}{L}{K}_2& -\frac{k}{L}{K}_3-\frac{R}{L}\end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}\theta \\ \omega \\ T\end{array}\right)$

על ידי תוכנה (מייפל למשל), נקבל בקלות את הפולינום האופייני:

$\mathrm{\Delta }(s)=s^3+\frac{k{K}_3+R}{L}{s}^2+\frac{k{K}_2-gLml}{Lm{l}^2}s+\frac{k{K}_1-gmlk{K}_3-gmlR}{Lm{l}^2}$

ואילו הפולינום הדרוש הוא:

$\mathrm{\Delta }(s)=(s+10)(s+\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})(s+\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})=s^3+11s^2+11s+10$

כך שמהשוואת מקדמים מתקבל:

$\{\begin{array}{c}{K}_1=ml\frac{L}{k}(11g+10l)\\ K_2=ml\frac{L}{k}(g+11l)\\ K_3=\frac{-R+11L}{k}\end{array}$