הצגת המקור של הדף "תורת ההסתברות/פרק 4"

== משל הקופים והאינטרנט ==

יושב קוף מול מקלדת ומקליד בכל שנייה תו אקראי. ההסתברות אחידה. ההקלדות בת"ל זו בזו. הקוף ממשיך לנצח.
#האם מתישהו הקוף הקליד את פצפונת ואנטון?
# האם מתישהו הקוף הקליד את הפיתוח העשרוני של <math>\Pi</math> ?


== מכפלה של מרחבי הסתברות ==

יהו <math>\displaystyle (\Omega_1,F_1,P_1)</math>, <math>(\displaystyle \Omega_2,F_2,P_2)</math> מרחבי הסתברות כלשהם. <br />
נגדיר מרחב הסתברות חדש: <math>(\Omega_1\times\Omega_2,F_1\otimes F_2,P_1\otimes P_2)</math> <br />
נגדיר את F להיות הסיגמא-אלגברה המינימלית המכילה את F1  ו F2: <br />
<math>F_1\otimes F_2 = \sigma(\left \{A_1\times A_2 : A_1\in F_1, A_2\in F_2\right \})</math>

'''הגדרה:''' עבור <math>A_1\in F_1, A_2\in F_2</math> מוגדר: <math>(P_1\otimes P_2)(A_1\times A_2):=P_1(A_1)P_2(A_2)</math>

'''משפט:''' קיימת הרחבה יחידה של <math>P_1\otimes P_2</math> לפונקציית הסתברות על <math>F_1\otimes F_2</math>


=== מכפלה בת מניה של מרחבי הסתברות ===
כך ניתן להגדיר מכפלה לכל אוסף בן מניה של מרחבי הסתברות.

יהיו <math>\displaystyle(\Omega_1,F_1,P_1),(\Omega_2,F_2,P_2),...</math> אוסף בן מניה של מרחבי הסתברות.<br />
נגדיר את מכפלתם <math>\displaystyle (\Omega,F,P)</math> כך:<br />
<math>\Omega = \Omega_1\times\Omega_2\times\Omega_3\times...=\left \{collection\,of\,sequences w: w_n\in \Omega_n\right \}</math> <br />

'''הגדרה:''' מאורע צילינדר הוא <math>A\subset \Sigma</math> כך שקיימים <math>A_1\in F_1,>A_2\in F_2,>A_3\in F_3...,>A_n\in F_n</math> <br />
כך ש: <math>A=A_1\times A_2\times A_3\times...\times A_n\times \Sigma_{n+1}\times \Sigma_{n+2}\times...</math>

F תהיה הסיגמא אלגברה הקטנה ביותר הכוללת את כל מאורעות הצילינדר.

נגדיר את P: אם  <math>A=A_1\times A_2\times A_3\times...\times A_n\times \Sigma_{n+1}\times \Sigma_{n+2}\times...</math> מאורע צילנדר אזי נגדיר: <br />
<math>\displaystyle P(A) = P_1(A_1)P_2(A_2)P_3(A_3)...P_n(A_n)</math>

'''משפט:''' קיימת הרחבה יחידה של P על F. זהו משפט מתורת המידה.
[[קטגוריה:מתמטיקה לאוניברסיטה]]