הצגת המקור של הדף "תורת הקבוצות/עוצמות/תרגילים"

==אינסופיות של קבוצה==
הוכיחו כי קבוצת המספרים השלמים אינסופית.
{{מוסתר|פתרון|2=<math>|\Z|=|\N|</math>, לכן <math>\Z</math> אינסופית.}}
==סדר בין עוצמות==
===תת קבוצה===
הוכיחו כי <math>A\subseteq B\Rightarrow|A|\le|B|</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=<math>I:B\to A:I(x)=x</math> חח"ע.}}
===מספר טבעי קטן מאינסוף===
הוכיחו כי לכל <math>\kappa</math> אינסופית ולכל <math>n</math> טבעי, <math>n<\kappa</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=תהי <math>|A|=\kappa</math>. מכיוון שA אינסופית, היא אינה ריקה, ויהי <math>N_1\in A</math>. לכל k טבעי, <math>N_k</math> הוא איבר כלשהו ב <math>A\setminus\{N_i:1\le i<k\}</math>. מתקיים <math>|\{N_i:1\le i\le n\}|=n</math>, ו<math>\{N_i:1\le i\le n\}\subseteq A</math>, לכן <math>n\le\kappa</math>. <math>n\not=\kappa</math>, כי <math>\kappa</math> אינסופית, לכן <math>n<\kappa</math>.}}
===<math>\aleph_0</math> הוא האינסוף הקטן ביותר===
הוכיחו כי לכל <math>\kappa</math> אינסופית, <math>\aleph_0\le\kappa</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=לכל קבוצה אינסופית יש תת קבוצה שעוצמתה <math>\aleph_0</math>, לכן <math>\aleph_0\le\kappa</math>.}}
==אריתמטיקה של עוצמות==
===<math>\aleph_0^{\aleph_0}</math>===
הוכיחו כי <math>\aleph_0^{\aleph_0}=\aleph</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=על פי השאלה הבאה, <math>\aleph=2^{\aleph_0}\le\aleph_0^{\aleph_0}\le\aleph^{\aleph_0}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph\Rightarrow \aleph_0^{\aleph_0}=\aleph</math>.}}

===איזוטוניות של חזקה===
הוכיחו:
# <math>\kappa\le\lambda\Rightarrow\kappa^\mu\le\lambda^\mu</math>.
# <math>\kappa\le\lambda\land\mu\not=0\Rightarrow\mu^\kappa\le\mu^\lambda</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=בשני הסעיפים תהי <math>h:A\to B</math> חח"ע, כאשר <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda,|C|=\mu</math>.
# נגדיר <math>\psi:A^C\to B^C</math> כך: <math>\psi(f)=h\circ f</math>. מכיוון שh חח"ע, היא מצטמצמת משמאל, לכן הפונקציה חח"ע.
# יהי <math>c\in C</math>. נגדיר <math>\psi:C^A\to C^B</math> כך: <math>\psi(f)</math> היא הפונקציה <math>g:B\to C</math> המוגדרת <math>g(x)=\begin{cases}h'^{-1}(x)&&x\in\mathrm{Im}(h)\\c&&\text{else}\end{cases}</math>, כאשר <math>h':A\to\mathrm{Im}(h)</math> מוגדרת <math>h'(x)=h(x)</math>. ברור ש<math>\psi</math> חח"ע.}}