הצגת המקור של הדף "תורת הקבוצות/פעולות על קבוצות"

{{תורת הקבוצות}}
==איחוד קבוצות==
[[תמונה:Venn_A_union_B.png|שמאל|ממוזער|250px|דיאגרמת ון של ה'''איחוד''' של <math>A,B</math>]]
{{הגדרה|
מספר=1.3|
שם=איחוד קבוצות|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות. לכל אבר <math>x</math> מתקיים: <math>x\in A\cup B</math> אם ורק אם <math>x\in A</math> או <math>x\in B</math> .
:<math>A\cup B=\Big\{x:x\in A\lor x\in B\Big\}</math>
במלים אחרות: '''האיחוד''' שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל אברי <math>A</math> ואת כל אברי <math>B</math> , ורק אותם.}}

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר, <math>A\cup B=B\cup A</math> .

{{משפט|
מספר=1.4|
שם=|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות. מתקיים: <math>A\subseteq A\cup B</math> וגם <math>B\subseteq A\cup B</math> .

;הוכחה
נשוב להגדרה של הכלה (הגדרה 1.1). עלינו להראות שלכל <math>x</math> אם <math>x\in A</math> אז <math>x\in A\cup B</math> . אך טענה זו נובעת ישירות מההגדרה של איחוד, ולכן <math>A\subseteq A\cup B</math> . ההוכחה עבור <math>B</math> זהה.}}

{{משפט|
מספר=15|
שם=|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות המקיימות <math>A\subseteq B</math> . מתקיים: <math>A\cup B=B</math> .

;הוכחה
על-מנת להוכיח שוויון בין קבוצות, עלינו להראות הכלה משני הכיוונים, כלומר <math>B\subseteq A\cup B</math> וגם <math>A\cup B\subseteq B</math> .

הכיוון הראשון נובע ממשפט 1.3. על-מנת להוכיח את הכיוון השני, יהי אבר <math>x</math> המקיים <math>x\in A\cup B</math> . לפי הגדרת האיחוד (הגדרה 1.5), מתקיים <math>x\in A</math> או <math>x\in B</math> .

כיון ש־<math>A\subseteq B</math> , אם <math>x\in A</math> אז <math>x\in B</math> , ולכן בשני המקרים <math>x\in B</math> . לכן <math>A\cup B\subseteq B</math> .}}

{{משפט|
מספר=1.6|
שם=|
תוכן=לכל קבוצה <math>A</math> מתקיים: <math>A\cup A=A\cup\varnothing=A</math> .

;הוכחה
ממשפט 1.3 מתקיים <math>\varnothing\subseteq A</math> , ולכן לפי משפט 1.4 מתקיים <math>A\cup\varnothing=A</math> .

ממשפט 1.1 מתקיים <math>A\subseteq A</math> , ולכן שוב לפי משפט 1.4 מתקיים <math>A\cup A=A</math> .}}

{{הגדרה|
מספר=1.4|
שם=המספרים הטבעיים|
תוכן=נגדיר את המספרים הטבעיים באופן הבא:
#<math>0=\varnothing</math>
#<math>n+1=n\cup\{n\}</math>
כלומר, 0 מוגדר בתור הקבוצה הריקה, וכל מספר טבעי מוגדר באמצעות קבוצת הטבעיים הקטנים ממנו.}}

===איחוד מורחב===
כפי שהגדרנו איחוד של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר איחוד של שלוש קבוצות:
:<math>A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=\Big\{x:x\in A\lor x\in B\lor x\in C\Big\}</math>
באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לאיחוד של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות <math>\mathfrak{F}</math> , נגדיר את האיחוד של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים באחת מהקבוצות. כלומר:
:<math>\bigcup_{A\in\mathfrak{F}}A=\Big\{x:\exist A\in\mathfrak{F}:x\in A\Big\}</math>

==חיתוך קבוצות==
[[תמונה:Venn A intersect B.svg|שמאל|ממוזער|250px|דיאגרמת ון של ה'''חיתוך''' של <math>A,B</math>]]

{{הגדרה|
מספר=1.5|
שם=חיתוך קבוצות|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות. לכל אבר <math>x</math> מתקיים: <math>x\in A\cap B</math> אם ורק אם <math>x\in A</math> וגם <math>x\in B</math> .
:<math>A\cap B=\Big\{x:x\in A\land x\in B\Big\}</math>
במלים אחרות: '''החיתוך''' שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל האברים המשותפים גם ל־<math>A</math> וגם ל־<math>B</math> , ורק אותם.}}

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר, <math>A\cap B=B\cap A</math> .

{{משפט|
מספר=1.7|
שם=|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות. מתקיים: <math>A\cap B\subseteq A</math> וגם <math>A\cap B\subseteq B</math> .

;הוכחה
נחזור להגדרת ההכלה (הגדרה 1.1). עלינו להראות שלכל <math>x</math> אם <math>x\in A\cap B</math> אז <math>x\in A</math> . טענה זו נובעת ישירות מההגדרה של חיתוך, ולכן <math>A\cap B\subseteq A</math> . ההוכחה עבור <math>B</math> זהה.}}

{{משפט|
מספר=1.8|
שם=|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות המקיימות <math>A\subseteq B</math> . מתקיים: <math>A\cap B=A</math> .

;הוכחה
על-מנת להוכיח שוויון בין קבוצות, עלינו להראות הכלה משני הכיוונים, כלומר <math>A\subseteq A\cap B</math> וגם <math>A\cap B\subseteq A</math> . הכיוון השני נובע ממשפט 1.7. על-מנת להוכיח את הכיוון הראשון, יהי אבר <math>x\in A</math> . כיון ש- <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>x\in B</math> , ולכן לפי הגדרת האיחוד <math>x\in A\cap B</math> .}}

{{משפט|
מספר=1.9|
שם=|
תוכן=לכל קבוצה <math>A</math> מתקיים: <math>A\cap A=A\ ,\ A\cap\varnothing=\varnothing</math> .

;הוכחה
ממשפט 1.3 מתקיים <math>\varnothing\subseteq A</math> ולכן לפי משפט 1.8 מתקיים <math>A\cap\varnothing=\varnothing</math> . ממשפט 1.1 מתקיים <math>A\subseteq A</math> ולכן שוב לפי משפט 1.7 מתקיים <math>A\cap A=A</math> .}}

===חיתוך מורחב===
כפי שהגדרנו חיתוך של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר חיתוך של שלוש קבוצות:
:<math>A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C=\Big\{x\Big|x\in A\land x\in B\land x\in C\Big\}</math>
באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לחיתוך של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות <math>\mathfrak{F}</math> , נגדיר את החיתוך של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים בכל אחת מהקבוצות. כלומר:
:<math>\bigcap_{A\in\mathfrak{F}}A=\{x|\forall A\in\mathfrak{F}:x\in A\}</math>

==הפרש בין קבוצות==
[[תמונה:Venn0100.svg|שמאל|ממוזער|250px|דיאגרמת ון של ההפרש בין שתי קבוצות]]
{{הגדרה|
מספר=1.6|
שם=הפרש בין קבוצות|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות. לכל אבר <math>x</math> מתקיים: <math>x\in A\setminus B</math> אם ורק אם <math>x\in A</math> אך <math>x\notin B</math> .
:<math>A\setminus B=\Big\{x\in A:x\notin B\Big\}=A\cap\overline{B}</math>

במלים אחרות: ה'''הפרש''' שלהם הוא הקבוצה המכילה את אברי <math>A</math> שאינם שייכים ל־<math>B</math> , ורק אותם.}}


הערה: למרות שנהוג היום יותר להשתמש ב־<math>\setminus</math> , עדיין נהוג לעתים בספרות ובמאמרים מסוימים בויקיפדיה השימוש בסימן <math>-</math> בשביל ההפרש בין קבוצות.

===הפרש סימטרי===
[[תמונה:AxorB.png|שמאל|ממוזער|250px|דיאגרמת ון של '''ההפרש הסימטרי''' של <math>A,B</math>]]
{{הגדרה|
מספר=1.7|
שם=הפרש סימטרי|
תוכן=תהיינה <math>A,B</math> קבוצות. לכל אבר <math>x</math> מתקיים: <math>x\in A\Delta B</math> אם ורק אם <math>x\notin A\cap B</math> .
:<font size=4><math>A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)</math></font size=4>

במלים אחרות: ה'''הפרש הסימטרי''' שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל האברים שאינם שייכים ל'''חיתוך''' שלהם, ורק אותם.}}

תכונות מעניינות שמקיים ההפרש הסימטרי:
*קומוטאטיביות <math>A\Delta B=B\Delta A</math>
*אסוציאטיביות <math>(A\Delta B)\Delta C=A\Delta(B\Delta C)</math>
הוכחת העובדות האלה ניתנת כתרגיל לקורא.

==כללי דה־מורגן==
חוקי דה־מורגן הנם חוקים אשר מטרתם ל"הפוך" חיתוך באיחוד. זה נעשה על־ידי שימוש במשלים. לכל שתי קבוצות <math>A,B</math> מתקיים:
:<math display=block>\begin{align}(A\cap B)^c&=A^c\cup B^c\\(A\cup B)^c&=A^c\cap B^c\end{align}</math>

===הוכחת חוקי דה־מורגן===
כעת נדגים הוכחה בתורת הקבוצות, ובד בבד, גם נוכיח את הכללים החשובים של דה־מורגן.
;הוכחה
נפתח בחוק הראשון.
:<math display=block>\begin{align}x\in(A\cap B)^c&\iff x\notin A\cap B\\&\iff\neg(x\in A\cap B)\\&\iff\neg(x\in A\land x\in B)\\&\iff(x\notin A)\lor(x\notin B)\\&\iff(x\in A^c)\lor(x\in B^c)\\&\iff x\in A^c\cup B^c\end{align}</math>
בצורה דומה מוכח גם המשפט השני.

===כללי דה־מורגן המוכללים===
בהינתן אוסף של קבוצות <math>\mathfrak{F}</math> , מתקיים:
:<math display=block>\begin{align}\left(\bigcap_{A\in\mathfrak F}A\right)^c&=\bigcup_{A\in\mathfrak F}A^c\\\left(\bigcup_{A\in\mathfrak F}A\right)^c&=\bigcap_{A\in\mathfrak F}\bar A\end{align}</math>
ההוכחה כמעט זהה לחלוטין להוכחה של חוקי דה־מורגן, ועל כן, היא מושארת כתרגיל לקורא.

{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
[[קטגוריה:תורת הקבוצות|פעולות על קבוצות]]