מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/השלמה לריבוע

השלמה לריבוע

$(x+a{)}^2=x^2+2ax+a^2$

$x^2+2ax=-a^2$

נשלים את הביטוי $x^2+2ax$ לריבוע ונקבל $x^2+2ax+a^2$

נחסיר (או נחבר) את האיבר החדש שנוסף $x^2+2ax+a^2=-a^2+a^2$

נפתר מהחזקה ונפתור את התרגיל

דוגמה

$\begin{array}{c}{x}^2-4x+3=0\\ x^2-4x=-3\\ x^2-4x+4=-3+4\\ (x-2{)}^2=1\\ x-2=\pm 1\\ x=\pm 1+2\\ x_{1,2}=1,-1\\ (x-1)(x+1)\end{array}$

הסבר

$A(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$

${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

$A(\underset{{(x+\frac{b}{2a})}^2}{\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2}}+\frac{c}{a}-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)$

נחזיר את הנעלם a $A({(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{c}{a}-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)$

נכפיל בנעלם a $A{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{a*c}{a}-a*{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

נצמצם ונפתח את הנעלם בי ונקבל: $A{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b^2}{4a}\right)+c$

הוכחת הנוסחה לפתרון כפל מקוצר

$\begin{array}{c}{x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\\ (x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ (x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ x=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$