אלגברה לינארית/חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג

בפרק דטרמיננטה הוכחנו בטענה כי ניתן למצוא דטרמיננטה על ידי דירוג מטריצה כאשר:

• הכפלה בקבוע: אם $\epsilon :C_i\iff C_j$ אזי מלינאריות ומטענה 6 נקבל: $D(AE)=D(\epsilon (A))=cD(A)=D(A)\cdot D(E)$
• החלפת שורה: אם $\epsilon :C_i\iff C_j$ אזי מטענה 2 ומטענה 6 נקבל: $D(AE)=D(\epsilon (A))=D(A)=D(A)\cdot D(E)$
• הוספה של קבוע: אם $\epsilon :C_i\iff C_j+c{C}_i$ אזי מטענה 5 ומטענה 6 נקבל: $D(AE)=D(\epsilon (A))=D(A)=D(A)\cdot D(E)$ כלומר אין השפעה על הדטרמיננטה (בהנחה שלא הכפלנו בקבוע ואז הוספנו את הקבוע)
• החלפה שורה – הכפלת דטרמיננטה ב־1-.

בנוסף על פי הגדרה של פונקציה לינארית מתחלפת, לכל מטריצה $A$ שיש לה שתי עמודות סמוכות זהות מתקיים $D(A)=0$.

$\left(\begin{array}{cccc}4& 4& 1& 1\\ 0& 2& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow 4\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow 4\cdot 2\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow 4\cdot 2\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow 4\cdot 2\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow 4\cdot 2\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow 4\cdot 2\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det =8$

לא להתבלבל עם דירוג:

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cccc}4& 4& 1& 1\\ 0& 2& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)& \underset{}{\overset{R_1:\frac{1}{4}{R}_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{R_2:-\frac{1}{2}{R}_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{R_1:R_1-\frac{1}{4}{R}_4}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & \underset{}{\overset{R_2:R_2-\frac{1}{2}{R}_4}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{R_1:R_1-\frac{1}{4}{R}_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{R_2:R_2-\frac{1}{2}{R}_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$