הסתברות/תוחלת ומומנטים/שונות

השונות (Variance) היא מדד לפיזור התוצאות של מ"מ סביב התוחלת שלו. ככל שהשונות יותר קטנה, כך התוצאות מרוכזות יותר סביב התוחלת.

תבנית:מבנה תבנית הגדרה זו מעניקה חשיבות רבה יותר עבור סטיות גדולות, מכיוון שהקשר ריבועי. למעשה, ניתן לכנות את השונות כ"סטייה ריבועית מינימלית ממרכז הכובד".

על מנת שהשונות תקבל משמעות מעשית, מגדירים את סטיית התקן (SD - Standard Deviation): תבנית:מבנה תבנית

כך, סטיית התקן היא באותן יחידות של X.

תכונות

• $𝔼(X-a{)}^2=𝔼(X-\mu {)}^2+(\mu -a{)}^2$
• $VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=m_2-m_1^2$
• אם X מ"מ מנוון המקבל את הערך x₀ בהסתברות 1, אז $VarX=0$.
• הזזה לא משפיעה על השונות: $Var(X+x_0)=Var(X)$
• עבור קבוע a כלשהו: $Var(aX)=a^{2}VarX$. בדומה, ${\sigma }_{aX}=|a|{\sigma }_X$.
• עבור סכום מ"מ כלשהם: $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$

דוגמאות

הערה: בכל הדוגמאות להלן q = 1-p.

שונות של משתנה גאומטרי

• יהי $X\sim Geom(p),𝔼X=\frac{1}{p}$ אז:

$VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=𝔼X(X-1)+𝔼X-(𝔼X{)}^2$

נחשב בנפרד את $𝔼X(X-1)$:

$𝔼X(X-1)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)p{q}^{k-1}=pq\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)q^{k-2}=pq\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k\right)=$

$=pq\left(\frac{1}{1-q}\right)=pq\left(\frac{2}{(1-q{)}^3}\right)=\frac{2q}{p^2}$

כעת נחבר ונקבל:

$VarX=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}$

שונות של משתנה בינומי

• יהי $X\sim Bin(n,p),𝔼X=np$ אז:

$𝔼X^2=\sum _{k=0}^n{k}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}=p^2\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^{k-2}{q}^{n-k}+p\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^{k-1}{q}^{n-k}=$

$=p^2\left(\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}\right)+p\left(\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}\right)=$

$=p^2[(p+q{)}^n{]}^{″}+p[(p+q{)}^n{]}^{\prime }=$

$=p^{2}n(n-1)+pn=p^2{n}^2-p^{2}n+pn=p^2{n}^2+npq$

שימו לב כי ניתן להציב p+q=1 רק לאחר שביצענו את הגזירה. השונות, אם כן, היא:

$VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=p^2{n}^2+npq-(np{)}^2=npq$

שונות של משתנה פואסוני

• יהי $x\sim Pois(\lambda ),𝔼X=\lambda$ אז:

$VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda$

שונות של משתנה אחיד

• יהי $X\sim U[0,1],𝔼X=\frac{1}{2}$ אז:

$VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

הרחבה

• יהי $X\sim U[a,b],𝔼X=\frac{a+b}{2}$ אז:

$VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^2\frac{x-a}{b-a}dx-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=...=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

דרך אחרת: נגדיר מ"מ חדש: $Z=\frac{X-a}{b-a}\sim U[0,1]$. ונשתמש בתכונת ההזזה של השונות:

$Var(Z)=\frac{1}{12}=Var\left(\frac{X-a}{b-a}\right)=\frac{1}{(b-a{)}^2}Var(X-a)=\frac{1}{(b-a{)}^2}Var(X)$

ולכן: $VarX=\frac{(b-a{)}^2}{12}$.

שונות של משתנה מעריכי

• יהי $X\sim Exp(\lambda ),𝔼X=\frac{1}{\lambda }$ אז:

מחדו"א ידוע: $𝔼X^2=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{{\lambda }^2}$,

ולכן: $VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}$

שונות של משתנה נורמלי

• יהי $X\sim N(0,1),𝔼X=0$ אז:

$VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=m_2-0^2=1$

שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש- $VarX=1$.

שונות של משתנה גאוסי כללי

• יהי $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ אז:

נגדיר מ"מ חדש: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$. אז:

$Var(X)=Var(\sigma Z+\mu )={\sigma }^{2}Var(Z)={\sigma }^2$

שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש- $VarX={\sigma }^2$.