הסתברות/דף נוסחאות

אי שיוויונים

• Boole's inequality - איחוד תחת P:

$\mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n)\le \mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)+...+\mathbb{P}(A_n)$

ושויון מתקיין אם $A_i\cap A_j=\mathrm{\Phi }$ לכל $i\ne j$.

• Bonferroni's inequality - איחוד-חיתוך:

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\ge \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)-\sum _{i<j}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)$

• דה מורגן:

$\mathbb{P}(A_1\cap ...\cap A_n)\ge \mathbb{P}(A_1)+...+\mathbb{P}(A_n)-(n-1)$

• סטייה ריבועית מינימלית מהתוחלת:

$𝔼(X-a{)}^2\ge 𝔼(X-\mu {)}^2$

• מומנטים (נובע מאי שליליות של השונות):

$𝔼X^2\ge (𝔼X{)}^2$

• צ'בישב:

$\mathbb{P}(|x-{\mu }_x|>a{\sigma }_x)<\frac{1}{a^2},\mathbb{P}(|x-{\mu }_x|>b)<\frac{{\sigma }_x^2}{b^2}$

• מרקוב (לכל מ"מ אי-שלילי ולכל a>0) מתקיים:

$\mathbb{P}(x\ge a)\le \frac{𝔼(X)}{a}$

• ינסן (אם h קמורה):

$𝔼h(X)\ge h(𝔼X)$

• קושי-שוורץ:

$|{\sigma }_{X,Y}|\le {\sigma }_X{\sigma }_Y$

נוסחאות טרנספורמציה

• פונקציה של משתנה מקרי: אם פונקציה h מונוטונית ממש וגזירה בתומך של X ו-(Y=h(X אז ל-Y יש צפיפות בתנאי של-X יש צפיפות והיא: $f_Y(y)=|h^{-1}(y{)}^{\prime }|f_X(h^{-1}(y))$
• פונקציה של וקטור אקראי: אם $h:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ חח"ע וגזירה, והיעקוביאן שונה מאפס, אז הצפיפות של Y היא:

$f_{\overrightarrow{Y}}(y_1,...,y_n)=\left|\frac{\partial x_1,...,x_n}{\partial h_1,...,h_n}\right|f_{\overrightarrow{X}}(h^{-1}(y_1,...,y_n))$

• תוחלת של טרנספורמציה: אם X,Y מ"מ, ו-Y=h(X) רציפה למקוטעין אז ל-Y יש תוחלת בתנאי של-X יש תוחלת והיא: $𝔼h(X)=𝔼Y=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(x)f_X(x)dx$
• תוחלת של טרנספורמציה של ו"א: יהי $(X_1,X_2,...,X_n)$ ו"א רציף, ויהי $Y=h(X_1,X_2,...,X_n)$, אז $𝔼Y=\int ...\int h(X_1,X_2,...,X_n)f_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_1,...,x_n)d{x}_{1}d{x}_2...d{x}_n$.

כללי

• נוסחת ההסתברות השלמה:

• במקרה הבדיד (B=Ω):

$\mathbb{P}(A)=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)$

• במקרה הרציף:

$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X|Y}(x|y)f_Y(y)$

• נוסחת בייס:

• במקרה הבדיד:

$\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$

• במקרה הרציף:

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{Y|X}(y|x)f_X(x)}{f_Y(y)}$

• שונות של משתנים שאינם בלתי-תלויים:

$Var\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_i)+\sum _{i\ne j}^{n}Cov(X_i,X_j)$

טורים שימושיים

סדרה הנדסית ($|x|<1$):

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=\frac{1}{1-x},\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2n}=\frac{1}{1-x^2}$

סדרה חשבונית: $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ טור חזקות סופי:

$1+n+n^2+...+n^k=\frac{1-n^{k+1}}{1-n},n\ne 1$

טור טיילור לאקספוננט:

$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=e^x$

הפיתוח הבינומי:

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$

אינטגרלים שימושיים

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-ax}=\frac{n!}{a^{n+1}}$