מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשע"א/035006/תרגיל 4

תרגיל מאתגר

נתונה הפונקציה $f(x)=cos(x^2-2x)$ בתחום $-0.5\le x\le 2.5$. בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. בתחום $0\le x\le 2$ את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציות הנגזרת $f^{\prime }(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$. תוכלו להיעזר בסקיצה של פונקצית הנגזרת $f^{\prime }(x)$. בתשובתך דייק במידת הצורך עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

נושאים : פונקציה טריגונומטרית, גזירה פונקציה מורכבת, משוואה טריגונומטרית פתרון יחודי,שורש ריבועי, הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת

מקור: [1] [2]

סעיף א'

נבצע גזירה לפונקציה $f(x)=cos(x^2-2x)$ על פי גזירה של פונקציה מורכבת : $u*v=v^{\prime }*u*u^{\prime }$,ונקבל : $-sin(x^2-2x)*(2x-2)$. נשוואה לאפס : $-sin(x^2-2x)*(2x-2)=0$.
.
שלב א', אפשר להיפטר מגורם אחד משוואה $2x-2=0$. הנקודה החשודה היא $x=1$.
שלב ב', ברצוננו להיפתר מסינוס, נוכל לבצע זאת על ידי הפיכת ה-$0$ לפוקצית סינוס עם זווית. בכדי לקצר את הפתרון, נעזר בפתרון היחודי של פונקציות סינוס $sin\pi =0$. נציב אותו במשוואה ונפתור :

$\begin{array}{cc}& sin(x^2-2x)=\sin \pi /:sin\\ & x^2-2x=\pi *k/-\pi *k\\ & x^2-2x-\pi *k=0\\ \end{array}$

נוציא שורש ריבועי :

$\begin{array}{cc}& x^2-2x-\pi *k=0\\ & a=1,b=-2,c=\pi *k\\ & \frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4*(-\pi *k)}}{2*1}\\ & \frac{2\pm \sqrt{4+4*\pi *k}}{2*1}\\ & \frac{2\pm \sqrt{4}*\sqrt{1+\pi *k}}{2*1}\\ & x_{2,3}=1\pm \sqrt{1+\pi *k}\\ \end{array}$

נציב את הפתרון בטבלת k

$1$	$0$	$-1$	$k$
$3.035$	$1+\sqrt{1+\pi *0}=2$	$-1.035$	$x_2=1+\sqrt{1+\pi *k}$
$-1.035$	$1-\sqrt{1-\pi *0}=0$	$3.035$	$x_3=1-\sqrt{1+\pi *k}$

הפתרונות בתחום $-0.5\le x\le 2.5$ הם $x_2=2$ ו-$x_3=0$.

שלב ג', נסדר את שלושת נקודות הקיצון החשודות בטבלה וכן, גם את נקודות הקצה.

הנגזרת : $-sin(x^2-2x)*(2x-2)$
$2.5$	$2.25$	$2$	$1.5$	$1$	$0.5$	$0$	$-0.25$	$-0.5$	$x$
חשודה	$-$	חשודה	$+$	חשודה	$-$	חשודה	$+$	חשודה	$f^{\prime }(x)$
$min$	$\searrow$	$max$	$\nearrow$	$min$	$\searrow$	$max$	$\nearrow$	$min$	$f(x)$

שלב ד', נציב בפונקציה $f(x)=cos(x^2-2x)$ למציאת ערך שיעור $y$ של הקודות :

$\begin{array}{cc}& y(-0.5)=cos(0.5^2-2*0.5)=0.32\Rightarrow (-0.5,0.32)min\\ & y(0)=cos(0)=1\Rightarrow (0,1)max\\ & y(1)=cos(1-2)=0.54\Rightarrow (1,0.54)min\\ & y(2)=cos(2^2-4)=1\Rightarrow (2,1)max\\ & y(2.5)=cos(2.5^2-2*2.5)=0.32\Rightarrow (2.5,0.32)min\\ \end{array}$

סעיף 2

בתמונה גם הפונקציה וגם הנגזרת בכדי להקל על ההנבה ש הסעיף הבא

סעיף 3

צריך למצוא : השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציות הנגזרת $f^{\prime }(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$.

נקודת קיצון של פונקציה = נקודות חיתוך עם ציר $x$. פונקציה עולה = נגזרת מעל ציר ה-$x$. פונקציה יורדת = נגזרת מתחת לציר ה-$x$.

התחום $-0.5\le x\le 2.5$

הנגזרת : $-sin(x^2-2x)*(2x-2)$
$2$	$1.5$	$1$	$0.5$	$0$	$f(x{)}^{\prime }$
נקודת חיתוך	$+$	נקודת חיתוך	$-$	נקודת חיתוך	$f^{\prime }(x)$
$max$	$\nearrow$	$min$	$\searrow$	$max$	$f(x)$

התחומים של האינטגרל :

1. מעל הציר בין $0-1$.
2. מתחת $1-2$.

תשובה : 0.92 (על פי אתרי פתרונות) תבנית:להשלים