התרגיל

נתונה סדרה חשבונית : $2, 5, 8, \dots a_{n}, \dots$ .
הוכח באינדוקציה שעבור כל $n$ טבעי הביטוי $2 * 3^{a_{n}} + 3 * 2^{a_{n} + 1}$
מתחלק ב- $38$ ללא שארית

נושא: אינדוקציה התחלקות, סכום והוכחת סכום

מקור: [1]

פתרון

נגדיר את הבעיה שלנו : מופיע אינדוקציה ואחריה תרגיל "שאין לו קשר אל האינדוקציה.
מחפשים קשר בין התרגילים.
מה מבקשים? על מה שואלים? : $\frac{2 * 3^{a_{n}} + 3 * 2^{a_{n} + 1}}{38}$
נתבונן וננסה להבין את הקשר (מה משותף לשני הסעיפים? מה מקשר בניהם? מה חסר בכדי שנוכל לקשר אותם?) בין השאלה לאינדוקציה : $2, 5, 8, \dots a_{n}, \dots$ .

תבנית:מוסתר תבנית:מוסתר תבנית:מוסתר

מציאת $a_{n}$

למציאת $a_{n}$ עלינו למצוא את האיבר הראשון וההפרש בין האיברים. האיבר הראשון נתון לנו ( $2$ ) ולכן כל שעלינו לעשות הוא למצוא את ההפרש בין האיברים.

$\begin{matrix} a_{2} - a_{1} \\ 5 - 2 = 3 \\ d = 3 \end{matrix}$

עתה נציב את הגורמי במשוואת $a_{n}$ ונגלה את האנוסחא הכללית לאיברי הסדרה :

$\begin{matrix} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ a_{n} = 2 + (n - 1) 3 \\ a_{n} = 2 + 3 n - 3 \\ a_{n} = 3 n - 1 \end{matrix}$

בסדרה המבוקשת עלינו לדעת גם את $a_{n + 1}$ לכן נגלה גם אותו :

$\begin{matrix} a_{n + 1} = a_{n} + d \\ a_{n + 1} = 3 n - 1 + 3 \\ a_{n + 1} = 3 n + 2 \end{matrix}$

נציב את האיברים הכללים באינדוקציה השניה :
$\frac{2 * 3^{3 n - 1} + 3 * 2^{3 n + 2}}{38}$

הוכחת אינדוקציה

$\frac{2 * 3^{3 n - 1} + 3 * 2^{3 n + 2}}{38} = ℤ$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} \frac{2 * 3^{3 n - 1} + 3 * 2^{3 n + 2}}{38} \\ \frac{2 * 3^{3 - 1} + 3 * 2^{3 + 2}}{38} \\ \frac{2 * 3^{2} + 3 * 2^{5}}{38} \\ \frac{18 + 96}{38} \\ \frac{114}{38} \\ 3 = ℤ \sqrt \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$\frac{2 * 3^{3 k - 1} + 3 * 2^{3 k + 2}}{38} = ℤ$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{matrix} \frac{2 * 3^{3 (k + 1) - 1} + 3 * 2^{3 (k + 1) + 2}}{38} = ℤ \\ \frac{2 * 3^{3 k + 2} + 3 * 2^{3 k + 5}}{38} = ℤ \\ \frac{2 * 3^{3 k - 1} * 3^{3} + 3 * 2^{3 k + 2} * 2^{3}}{38} = ℤ \\ \frac{27 * 2 * 3^{3 k - 1} + 8 * 3 * 2^{3 k + 2}}{38} = ℤ \\ \frac{(8 + 19) * 2 * 3^{3 k - 1} + 8 * 3 * 2^{3 k + 2}}{38} = ℤ \\ \frac{8 * 2 * 3^{3 k - 1} + 19 * 2 * 3^{3 k - 1} + 8 * 3 * 2^{3 k + 2}}{38} = ℤ \\ \frac{8 (2 * 3^{3 k - 1} + 3 * 2^{3 k + 2})}{38} + \frac{19 * 2 * 3^{3 k - 1}}{38} = ℤ \\ ℤ + \frac{38 * 3^{3 k - 1}}{38} = ℤ \\ ℤ + 3^{3 k - 1} = ℤ \sqrt \end{matrix}$

על פי ההנחה
$k$ מספר טבעי ולכן החזקה של $3^{3 k - 1}$ חיובית

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035006/תרגיל 3

תוכן עניינים

התרגיל

פתרון

מציאת $a_{n}$

הוכחת אינדוקציה

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

תפריט ניווט

מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035006/תרגיל 3

התרגיל

פתרון

מציאת an

הוכחת אינדוקציה

בדיקה נכונות הטענה עבור n=1

נניח כי הטענה נכונה עבור n=k טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

תפריט ניווט

חיפוש

מציאת $a_{n}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי