מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"א/035302/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי עבור כל $n$ טבעי אי-זוגי הביטוי : $n^3+2n$ מתחלק ב-$3$ ללא שארית.
במילים אחרות	אי זוגי $\frac{n^3+2n}{3}=\mathbb{Z}$
נושא	אינדוקציה-התחלקות, מקרים באינדוקציה אי זוגי,כפל מקוצר
מקור	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$ (אי זוגי)

$\begin{array}{cc}& \frac{1^3+2*1}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{3}{3}=\mathbb{Z}\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{k^3+2k}{3}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

$\begin{array}{cc}& \frac{(k+2{)}^3+2(k+2)}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{k^3+6k^2+12k+8+2k+4}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{k^3+2k}{3}+\frac{6k^2+12k+8+4}{3}=\mathbb{Z}\\ & \mathbb{Z}+\frac{6k^2+12k+8+4}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{6k^2+12k+12}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{6(k^2+2k+2)}{3}=\mathbb{Z}\\ & 2(k^2+2k+2)=\mathbb{Z}\\ \end{array}$

$k$ טבעי (חיובי ושלם) ולכן, האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.