מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/נוסחאות הכפל הקצר

נוסחאות בחזקת 2

נוסחאות אלו הן נוסחאות אשר מאפשרות לפתוח סוגריים (או לקבץ אברים) של ביטויים נפוצים במהירות וללא טעויות. נוסחאות אלו הן עבור תבניות בחזקה 2.

דו-אבר בריבוע

משמעות גאומטרית

$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$

הוכחה

$(a\pm b{)}^2=(a\pm b)(a\pm b)$

על-פי תבנית:מונח/חוק הפילוג:

$=a(a\pm b)\pm b(a\pm b)$

שוב על-פי תבנית:מונח/חוק הפילוג:

$\begin{array}{c}=aa+ab+ba+bb\\ \\ =a^2\pm ab\pm ba+b^2\end{array}$

על-פי תבנית:מונח/חוק החילוף בכפל:

$\begin{array}{c}=a^2\pm ab\pm ab+b^2\\ \\ =a^2\pm 2(ab)+b^2\end{array}$

על-פי תבנית:מונח/חוק הקיבוץ בכפל:

$=a^2\pm 2ab+b^2$

הפרש ריבועים

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

הוכחה

על-פי תבנית:מונח/הגדרת החיסור:

$(a+b)(a-b)=(a+b)(a+(-b))$

על-פי תבנית:מונח/חוק הפילוג:

$=a(a+(-b))+b(a+(-b))$

שוב על-פי תבנית:מונח/חוק הפילוג:

$\begin{array}{c}=aa+a(-b)+ba+b(-b)\\ \\ =a^2-ab+ba-b^2\end{array}$

על-פי תבנית:מונח/חוק החילוף בכפל:

$\begin{array}{c}=a^2-ab+ab-b^2\\ \\ =a^2-b^2\end{array}$

סיכום נוסחאות

$\begin{array}{c}(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2\\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)\end{array}$

תבניות בחזקה 3

$\begin{array}{c}(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3\\ a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\end{array}$

כפי שנראה לעיל, התוצאה היא פולינום בשני משתנים שונים וניתן להשתמש בנוסחאות אלו בכל מקרה בו נרצה לפתוח סוגריים ולקבץ אברים. נוסחאות אלו הינן בעלות חשיבות רבה ומועיל ללמוד אותן בעל פה. במיוחד חשובות הנוסחאות של חזקה 2.