מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035302/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי לכל $n$ טבעי מתקיים : $1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. חשב את הסכום : $21*22+22*23+\cdots +40*41$
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
מקור	[1]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L_{eft}:1(1+1)=R_{ight}\frac{1(1+1)(1+2)}{3}\\ & L_{eft}:2=R_{ight}\frac{2}{\surd }\\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& 1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ & \underset{\frac{k(k+1)(k+2)}{3}}{\underbrace{1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)}}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ & \frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ & k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)\\ & (k+1)(k+2)[k+3]=(k+1)(k+2)(k+3)\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

כיוון שתרגיל האינדוקציה מאוד פשוטה, אפשר לראות את ה-$n$ ישר מהתרגיל : $1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)$ ($n=20$ ו-$n=40$) ולגלות את הסכום על פי סכום האינדוקציה : $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$, כלומר עלינו לבצע $S_{1-401}-S_{1-20}$.שמו לב,שזוהי סדרה הנדסית, כלומר, כל איבר בה, הוא איבר $a_n$ כפול האיבר אחריו $a_n*a_{n+1}$. לכן, אנו מסתכלים על האיבר הראשון שנכפל ($a_n$) ואותו מציבים.

$\begin{array}{cc}& S_{40}=\frac{40(40+1)(40+2)}{3}=22960\\ -\\ & \underset{\_}{S_{20}=\frac{20(20+1)(20+2)}{3}=3080}\\ & S_{21-40}=19880\\ \end{array}$