מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035303/תרגיל 2

טוען את הטאבים...

תרגיל	האיבר הכללי של סדרה הוא $a_n=\frac{(n+1{)}^2}{(n+1{)}^2-1}$ הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי, מכפלת $n$ האיברים הראשונים בסדרה שווה ל- $\frac{2(n+1)}{n+2}$. חשב את המכפלה: $\frac{16}{15}*\frac{25}{24}*\cdots *\frac{256}{255}$
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

ראשית עלינו לרשום את הסדרה במילים : $a_1*a_2*a_3*\cdots *\frac{(n+1{)}^2}{(n+1{)}^2-1}=\frac{2(n+1)}{n+2}$ ונמצא את שני האיברים הראשונים בשביל הנחות :
$\begin{array}{cc}& a_n=\frac{(n+1{)}^2}{(n+1{)}^2-1}\\ & a_1=\frac{(1+1{)}^2}{(1+1{)}^2-1}=\frac{4}{3}\\ & a_2=\frac{(2+1{)}^2}{(2+1{)}^2-1}=\frac{9}{8}\\ \end{array}$

הסדרה : $\frac{4}{3}*\frac{9}{8}*\cdots *\frac{(n+1{)}^2}{(n+1{)}^2-1}=\frac{2(n+1)}{n+2}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L_{eft}:\frac{4}{3}=R_{ight}\frac{2(1+1)}{1+2}\\ & L_{eft}:\frac{4}{3}=R_{ight}\frac{4}{3}\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{4}{3}*\frac{9}{8}*\cdots *\frac{(k+1{)}^2}{(k+1{)}^2-1}=\frac{2(k+1)}{k+2}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{\frac{2(k+1)}{k+2}}{\underbrace{\frac{4}{3}*\frac{9}{8}*\cdots *\frac{(k+1{)}^2}{(k+1{)}^2-1}}}*\frac{(k+2{)}^2}{(k+2{)}^2-1}=\frac{2(k+2)}{k+3}\\ & \frac{2(k+1)}{k+2}*\frac{(k+2{)}^2}{(k+2{)}^2-1}=\frac{2(k+2)}{k+3}\\ & \frac{2(k+1)}{k+2}*\frac{(k+2{)}^2}{(k^{+}4k+3)}=\frac{2(k+2)}{k+3}\\ & \frac{2(k+1)(k+2{)}^2}{(k+2)(k+3)(k+1)}=\frac{2(k+2)}{k+3}\\ & \frac{2(k+2)}{(k+3)}=\frac{2(k+2)}{k+3}\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

עלינו לגלות את מכפלת האיברים :$\frac{16}{15}*\frac{25}{24}*\cdots *\frac{256}{255}$.

הסכום אותו עלינו לגלות הוא של האיברים : $S_{\frac{4}{3}-\frac{9}{8}}$, כלומר, עלינו לגלות את $n$ עבור המספר $n=\frac{9}{8}$. נביט באיבר הכללי של סדרה $a_n=\frac{(n+1{)}^2}{(n+1{)}^2-1}$. $n=2$ אפשר לראות או לחשב ($(n+1{)}^2=9$). מכן שסכום אותו עלינו לגלות הוא מאיבר הראשון עד השbי : $S_{1-2}$.

הסכום השני אותו עלינו לגלות הוא מהאיבר : $S_{\frac{4}{3}-\frac{256}{255}}$, כלומר, עלינו לגלות את $n$ עבור האיבר $\frac{256}{255}$. נעזר שוב בנוסחאת האיבר כללי של הסדה ונגלה ($(n+1{)}^2=256$) ש-$n=15$. מכן שסכום אותו עלינו לגלות הוא מאיבר הראשון עד החמישה עשר : $S_{1-15}$.

נמצא את המכפלה באמצעות : $\frac{2(n+1)}{n+2}$

$\begin{array}{cc}& S_{1-15}=\frac{2(15+1)}{15+2}=\frac{32}{17}\\ ÷\\ & \underset{\_}{S_{1-2}=\frac{2(2+1)}{2+2}=\frac{6}{4}}\\ & =\frac{32}{17}*\frac{4}{6}=1.25\\ \end{array}$