מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035302/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים $\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{n}{4(n+4)}$ . נתון שסכום $n$ המחוברים הראשונים של הטור שבסעיף א' הוא $\frac{1}{5}$ . חשב את המחובר ה- $n$-י בטור.
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L_{eft}:\frac{1}{(n+3)(n+4)}=R_{ight}=\frac{n}{4(n+4)}\\ & L_{eft}:\frac{1}{(1+3)(1+4)}=R_{ight}=\frac{1}{4(1+4)}\\ & L_{eft}:\frac{1}{4\cdot 5}=R_{ight}=\frac{1}{4\cdot 5}\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\frac{k}{4(k+4)}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n=k+1$

$\begin{array}{cc}& \underset{\frac{k}{4(k+4)}}{\underbrace{\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{(k+3)(k+4)}}}+\frac{1}{(k+4)(k+5)}=\frac{k+1}{4(k+5)}\\ & \frac{k}{4(k+4)}+\frac{1}{(k+4)(k+5)}=\frac{k+1}{4(k+5)}\\ & k(k+5)+4=(k+1)(k+4)\\ & k^2+5k+4=k^2+5k+4\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

עלינו לגלות את האבר ה- $n$ , שחיבור האברים עד אליו נותן $S_{n-1}=\frac{1}{5}$

ראשית נגלה את מקום האבר על-פי סכום הסדרה:

$\begin{array}{cc}& \frac{n}{4(n+4)}=\frac{1}{5}\\ & 5n=4n+16\\ & n=16\end{array}$

עתה משמצאנו את מיקום האבר נמצא את ערכו באמצעות הנוסחא הכללית של הסדרה:

$\begin{array}{cc}& a_n=\frac{1}{(n+3)(n+4)}\\ & a_{16}=\frac{1}{(16+3)(16+4)}\\ & a_{16}=\frac{1}{18\cdot 20}\\ \end{array}$